Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1989. 19/8. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 19)

Moloár Sándor: Másodrendű lineáris rekurzív sorozatok logaritmusának eloszlása

Érvényes a következő: TÉTEL: Legyen [

G

n]

n_

0 ^gy pozlt.iv tagokból álló nem elfajuló másodrendű lineáris rekurzív sorozat és legyen c^l pozitív valós szám. A I log G I „ sorozat akkor és cs;ik akkor ^ c njn-o t. egyenletes eloszlású modulo 1, ha log a Q. A TÉTEL bizonyitásához felhasználjuk az alábbi lemmát, LEMM

A

: Ha a [®

nJ

n=

0 ne

m elfajuló másodrendű lineáris rekurzív sorozat tagjai pozitiv valós számok, akkor G T TT lim —77—— « 0 > 0. n—• co Rátérünk a bizonyításokra. A LEMMA BIZONYÍTÁS

A: Először azt fogjuk megmutatni, hogy a LEMMA feltételei mellett |«| > | ß | teljsül. Ehliez csak az I cx I ^ I J -t kell igazolni, mert a bevezetésbei 1 megállapodásunk szerint |a|Sj^Jj. Az !« I I /3 ! valós a esetén nyilvánvaló, mert ellenkező esetben egységgyök adódna, ami ellentmond a LEMMA azon feltételének, hogy a sorozat nem elfajuló. Ha viszont cx nem valós, akkor cx és ß valamint a és b komplex konjugált számok és érvényesek a Cd) cx = r *expC i

HO) ß ~ r'exp(-illö) és C5) a = r

4 'expC ÍF!«.0 b «= r *expC-iII«> összefüggések, ahol 1 vCrT 1 AG -2G 0 < 9 = ft arctg -j^-- <1, o - ft arctg ^ Go * V-T) és r = |cx|>ü, r

t= | a I > 0. A (<4) és (5) felhasználásával a