Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1987. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 18/11)

Szepessy Bálint: Megjegyzések a valós függvények iterálásához IV

- 44 egész [a,bJ szakaszra képez le, akkor van bármilyen magasrendű ciklus (SZEPESSY, 1979.) Ennek a tételnek a feltételei csak elégségesek tetszőleges magasrendű ciklus létezéséhez. Sikerült ugyanis bebizonyítani; Ha a ^ c < d < b és f(x) az ta,b] szakaszon értelmezett olyan iterációs alapfüggvény, amelyre f(c)=c, f(d)=b,-továbbá van a [d,bl szakasznak olyan részszakasza, amelyet f(x) az Ia,bJ szakaszra képez le, akkor bármely (természetes) n szám esetén van az f(x) függvénynek nedrendű fixpontja (SZEPESSY, 1984). Ezen tétel feltételeinek az elégséges volta miatt kezdtük vizsgálni, hogy milyen iterációs alapfüggvények esetén lehet a ciklusok rendszámára felső korlátot adni (SZEPESSY, 1982). Az említett dolgozatban az alapfüggvényre olyan további feltételeket adtunk meg, amelyek mellett csupán első vagy másodrendű fixpontok lehetnek. Bebizonyítottuk egyebek mellett, hogy: Ha a < d < b és f(x) az [a,bl szakaszon értelmezett olyan iterációs alapfüggvény, amelyre f(a)=a, f(d)=b, fCb) 2: d és x e [a, d] esetén x < fCx) < b , valamint f(x) a td,b3 szakaszban monoton csökkenő, akkor az ta,b] szakaszban csak első és másodrendű fixpontok lehetnek (3. tétel). Ehhez a tételhez analóg a következő állítás: Ha a < d < b és fCx) az Ca,b3 szakaszon értelmezett olyan iterációs alapfüggvény, amelyre f(b)=b, f(d)=a, fCa) ^ d relációk teljesülnek és x e [d,bl esetén x > f<x> > a, továbbá fCx) az ta.dl szakaszban monoton csökkenő, akkor az ta,b] szakaszban csak első és má-