Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1987. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 18/11)

Szepessy Bálint: A halmazelmélet néhány filozófiai problémájáról

- 180 "A világban tehát az anyagi képződmények szövevényes összefonódását, kölcsönhatását találjuk; e képződmények mindegyike egész az őt alkotó részekhez képest és rész ama egészhez viszonyítva, amelynek felépítésében alkotóelemként jelen van. Mindamellett a rész nem lehet egész Önmagához képest, valamint ahhoz az egészhez képest, amelynek része. Az egész pedig nem lehet saját magának része, valamint részeinek a része". Azt mondtuk, hogy véges halmazok körében érvényes az egész és rész dialektikus kapcsolata. Mi a helyzet a végtelen halmazok körében? Ezekről később szólunk. 4/ A halmazok számossága című anyagrész rengeteg filozófiai kérdést vet fel: Legyen adott a halmazoknak egy R rendszere. Az R két halmazát — mint tudjuk — akkor nevezzük egyenlő számosságénak, ha a két halmaz ekvivalens, vagyis, ha létezik egyik halmaznak a másikra való bijektív leképezése. A bijektív leképezéssel megtaláltuk azt az utat, amelynek segítségével véges halmazok számosságát meg tudjuk állapítani anélkül, hogy azokat megszámlálnánk. Véges halmazok esetében nem lényeges milyen módon történik a leképezés, véges halmazok összehasonlításánál a bijektív leképezés módja nem játszik szerepet. Ismeretes, hogy a halmazok számosságának azonossága ekvivalenciareláció. Egyenlő számosság alapján képezett egyes ekvivalenciaosztályokat véges halmazok esetén természetes számoknak nevezzük. Valamely véges A halmazt akkor tekintjük egy B halmaznál, kisebb számosságnak, ha A ekvivalens a B halmaz egy valódi részhalmazával. Ekkor 8 halmazt nagyobb számosságénak is nevezzük. Tudjuk, hogy ez a reláció rendezési reláció. Az is nyilvánvaló, hogy egy adott halmaz több elemmel rendelkezik bármelyik valódi részénél. Azaz a véges halmazok körében érvényes az a megállapítás, hogy az egésznek szükségszerűen nagyobbnak kell lennie a résznél. Persze halmazok körében a kisebb fogalmat nem is definiáltuk, csak számosságukra. Pontosabban tehát csak azt tudjuk mondani, hogy egy véges halmaz valódi részhalmazának számossága mindig kisebb a halmaz számosságánál. A véges halmazok vizsgálata tehát a természetes számokhoz vezetett. A természetes számok összeadása, szorzása halmazok közötti műveletekre