Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1979. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 15)

III. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBŐL - Dr. Szepessy Bálint: Megjegyzések a valós függvények iterálásához I

A bizonyítást indirekt úton végezzük. Tegyük fel állításunkkal ellentétben, hogy a [h, i ] szakaszban van n-edrendű fixpont (n > 2); de n-nél magasabb rendű már nincs. Legyen x «-edrendű fixpont. A f

n{h) = c és f

n(x) = x valamint f

n(x) folytonossága miatt képezhetjük az «_(« +1) = min {x] , f

n(x) = i inverz-iterált pontot. x] Az + értelmezéséből következik, hogy (x-re és minden «-edrendű fixpontra igaz) u-(n +1) Az fn(x) függvény a [h, i/_(„ + i)] szakaszt az [w_I;x'] (C < X' <u) vagy az [u_\, x'], (w <x' < b) szakaszra képezi le. Az x' jelenti a legnagyobb függvényértéket, amelyet f

n(x) a [h, í/_(„

+1

)] szakaszban felvesz. Az első esetben mivel/„ + 2(h) = c és/„ +21)] — u

x -h, ezért/„ + 2(x) függvény a [h, szakaszban legalább egy pontban átmetszi az átlót. Ebben a szakaszban van tehát olyan x pont amelyik legfeljebb («+2)-edrendű fixpont. Az x pont «-edrendű fixpont nem lehet, mert jc < (

n +1). Az jí(«-l)-edrendű fixpont sem lehet, mert ellenkező esetben az = min (xj, f

n_i(x) = u. xe\h, £} 26* 403