Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1979. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 15)
III. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBŐL - Dr. Szepessy Bálint: Megjegyzések a valós függvények iterálásához I
f{x) — v. Az u pontnak az [e, d] szakaszbeli inverz-iterált pontjai közül a v_ i-tői balra a hozzá legközelebb esőt választva legyen ennek abszcisszája u_\ \ azaz = max(x], Ax) = u. e<x<v_i Könnyű kimutatni, hogy [w_ \; i ]i = [u, v]. Ez adódik a 3. oldal 2. bekezdéséből; valamint abból az egyszerűen belátható állításból, hogy [a, b] valamely zárt Erészszakaszának első iteráltjaa fmin/(x); max/(.*)] szakasz, továbbá abból, hogy min/i[x) =f{u_i) = xeE xeE xev_\ = ués max f{x) = A v-\) — v, = [m_i,v_i]). xev^i x ' (Ha a v_ i = [m_v_ \ ] szakasz belsejében lenne olyan 3c pont, ahol/(3c) < u teljesülne, akkor — az f[x) folytonossága miatt — lenne olyan Jc pont is amelyre f[x) = u teljesül és x < v_ i lenne ellentétben azzal, hogy u_ \ = rnaxjx) ,f{x) = u. Ugyanígy látható be a másik állítás is.) A v_ i értelmezése szerint, v_ \ <d;u> d, így a i < u, ezért a v_ \ = [w_ i, \ ] szakasz teljes egészében balra van a v = [u, v] szakasztól; v nv_\ = 0. Ezután képezzük i szakasz határpontjaiból kiindulva az előbbi eljárásnak megfelelően a v_2 — nún^x} , f(x) = v_i és w_2 = maxi*}, f{x) = w_i határpontú [ w-2> v-2\ intervallumot. Erre teljesül a(y_2)i — v__\. Av_\ ésav_2 szakaszoknak nincs közös belső pontja, mert ha lenne, akkor e pont rákövetkezője közös belső pontja lenne a (^-2)1 = v-\ és a v_ i)i = v iterált szakaszoknak is, ami az előbbi eredményünkkel ellenkezne, gy v_ i n 2 = 0Az eljárást az eddigiekhez hasonlóan folytatva olyan 1, V-2> • • • > v-n> • • • végtelen intervallum-sorozatot képezhetünk, amelynek elemei páronként diszjunktak, bármely szakasz a megelőzőjétől balra (ha n > 1), és mindegyik az e ponttól jobbra van. Könnyen belátható, hogy {y_ („ + !))! = v_ n (n =0, 1,2,.. .). Mindezek után elmondhatjuk, hogy — ebben az esetben — a v_ n = [un, szakaszban az fn + i 0*0 iterált függvény minden [a, b] szakaszbeli értéket felvesz, mert a szakasz kezdő, illetve végpontjában: /„+1 (w_„) =f\fn(u-n)] =Au) = b f n + 1 (v-n)=f[fn(V-n)]=Av) = a Ezért ag(x) =f n + i(x) - x függvényre g(u-n) =/n + l("-n) - «-/i = b - w_„>0 g(v-n) = fn+ l(v_„) -vn=a- <0, valamint g(x) folytonossága következtében van az [u_ n, v~ n] szakaszban e függvénynek 0-helye, legyen ez x, tehát g(x) = 0, azaz f n + i(x) = (x), amiből következik, hogy az/(x) függvénynek az x pont legfeljebb (n+l)-edrendű fixpontja. Mivel xev~ n, (x)i ev_( w_i), (x ) 2ev-(n-2)> • • (x) n_iev_i, (x) nev és V— n, v~(n— 1)' • • v szakaszok — mint azt fentebb megállapítottuk — páronként diszjunktak, ezért az x, (3c)j,. . ., (3c )„ iterált pontok páronként különbözők, vagyis x («+l)-edrendű fixpont. Ezzel ebben az esetben a tételt bebizonyítottuk. Megjegyzés: Ha a ß és v szakaszoknak egy-egy határpontjuk közös, akkor is igaz (a, 7 esetben) a tétel állítása. Ennek belátására az előző bizonyításmód alkalmazható, azt alig módosítja. (Ekkor is képezhető ugyanis az előzőek szerint av_\,v_2, • • •, v-n • • • végtelen intervallum-sorozat és bármely szakasz legfeljebb egy határpont kivételével az előzőtől balra, mindegyik e ponttól jobbra van; + v-n( n = 0, 1, 2, .. .). Az f n + i(x) iterált függvény av_ n szakaszbeli bármely 3c elsőrendű fixpontjának (ilyen az előzőek szerint legalább egy van) első, második,. . n-edikiteráltjaaz [w_( n- l)í v-(n- 1)]> [w_( M_2), v_(„_2)], • • •,[u, v] diszjunkt szakaszokba esik; ezért 3c («+l)-edrendű fixpont) 399
