Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1973. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 11)

III. Tanulmányok a Természettudományok köréböl - Járosi András: Számok n-edik gyökének fogalmáról

„

Die n-te Wurzel aus einer positiven Zahl a ist die positive Zahl b, n deren n-te Potenz gleich a ist. Man schreibt dafür \a

. Dabei ist n = n n = 2, 3, 4, . .. Für a = 0 ist fl) = 0. Für negative a ist \'a nicht definier t." (256. oldal.) Elnézést kérek az olvasótól a sok idézetért, de legyen szabad még az utolsó definícióhoz fűzött megjegyzést is szó szerint hoznom, hogy világosan láthassuk a törekvést és a módszert a gyök fogalmának megalkotásakor, illetve módosításakor: „Ist in y — x

n die Hochzahl n und der Potenzwert y > 0 gegeben und ist x > 0, so erhält man die Grundn zahl x durch Radizieren: x = ][y- Wie auf S. 177 sagen wir: »Das Radizieren ist die Umkehrung des Potenzierens, also eine Rechenart 3. Stufe«/' (258. oldal.) Elemezve a definíciókat, mindenekelőtt el kell ismernünk, hogy elérték a kitűzött célt: a valós számok halmazában egyértelművé tették a szám n-edik gyökét és a gyökvonás műveletét. A két definíció között azonban jelentős eltérés mutatkozik a negatív számok gyökeinek az értelmezésében. Az I. definíció a valós számok halmazában a régi értelemben vett gyökök közül páros n gyökkitevőre kizárta, páratlanra pedig lényegében meghagyta a negatív gyököket. A formális definíció ugyan nem tartalmazza a negatív számok páratlan kitevőjű gyökeit, de a definíciót követő magyarázó szövegből félreérthetetlenül következik, hogy páratlan n esetén a negatív számok n-edik gyökét a régi módon értelmezi. A II. definíció ezzel szemben negatív valós számokra semmilyen n esetében nem értelmezi az n-edik gyököt. Külön n hangsúlyozza, hogy negatív a-ra [ a nincs definiálva, s nem alkalmazza 3 n a ][ — 8 típusú jelet, vagyis az ][ — a jelet pozitív a esetében. Az x

n = —a n n (a > 0) egyenlet megoldását sem f—a-val, hanem -j/a-val jelöli. Az előbbi eltérés ellenére a két definíciónak van egy igen lényeges közös vonása, hogy tudniillik a gyökvonás a nem negatív valós számok halmazán művelet, éspedig unér művelet, amely a hatványozás inverz műveletének tekinthető. De semmiképpen sem tekinthető az így definiált gyökvonás az összes valós számok halmazában értelmezett műveletnek — hiszen ebben a halmazban csak parciális művelet volna —, s így még kevésbé beszélhetünk annak inverz voltáról. Igaz, hogy a II. definíció a pozitív számok négyzetgyökének, majd n-edik gyökének az értelmezésekor egyaránt hangsúlyozza: a gyökvonás a pozitív valós számok halmazában a hatványozás megfordítása. A valós számok teljes halmazára azonban nem terjeszthető ki ez a megállapítás, hiszen negatív valós számokra az n-edik gyököt a definíció nem értelmezte. Végeredményben tehát mindkét definícióval megadott gyökvonás a valós számok teljes halmazában elveszti a nem negatív valós számok halmazában meglevő inverz művelet jellegét. 277-