Az Egri Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1969. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis ; : Nova series ; Tom. 7.)

II. Ha a (23)-as egyenletben ei = e

2 = e, akkor a két kúpszelet metszéspontjai meg szerkeszthetők. Bizonyítás: Ha az egyenletbe e

1 és e

2 helyébe e-t írunk, a következő alakú lesz: (e x

1 + P

l)

2 + 2 b

1 x, + 2 b

2 Y(ex

í + P

iy -x[+ (b\ + b\) = [ex

1 + eb

2 + p

2f Ebből rendezés, négyzetreemelés, majd ismét rendezés után az alábbi egyenletet kapjuk: x\ [(2e p

í — 2 e p

2 -f- 2b

í — 2 e

2 b

2f - 4 b\ e

2 + 4 b\\ + x

t [4 (e

P

l - ep

2 + + b

x - e

2 b

2) (pl -p\-#b\- 2e b

2 p

2 + b\ + b\) -8 eb\

P

l] + + [(

pl-pl-e*bl-2eb

2p

2 + bl+bl)z-4blpl] = 0 Vezessük be a következő jelöléseket: M = (2 e P

í - 2 e p

2 + 2b

1-2e* é

2)

2 - 4 e

2 + 4 6® ÍV = 4 (e P

l - e p

2 + b

1 - e

2 b

2) {p\ - p\ - e

2 b\ - 2e b

2 p

2 + b\ + b\) - 8 c b\ Pl L = (pl - pl -eH; -2eb

2p

2 + b\ + b\f - Ab\p\ Az egyenlet ezután a következő alakba írható: Mx

2

1+Nx

í + L = 0 (29) Ebből a metszéspontok abcisszái meghatározhatók, az ordinátákat pedig az x\ = (ex

± + p

í)

2 — Xj-ből számíthatjuk ki. Mivel az M, N, L értékek szerkeszthetők, a (29)-es egyenlet gyökei szerkeszthetők. Ezzel állításunkat bebizonyítottuk. A levezetésből kitűnik, hogy minden x

t értékhez kettő x

2 tartozik, amelyek szimmetrikusak az x

t tengelyre. A két kúpszelet nem szimmetrikus x

t-ve, így a metszéspontok sem, vagyis minden a^-hez csak egy x

2 tartozik. Ezért az (a^ x

2) párokhoz a transzformációs képlettel meghatározzuk az párokat. Amelyek ezek közül kielégítik az x\ + x\ = (e x

t + p

2)

2 egyenletet, az azokhoz tartozó (Zj x

2) párok lesznek a megoldások. Ebben a pontban tárgyalt kúpszeleteknél a numerikus excentricitások egyenlők, tehát c

2 = X c

1 , a

2 — X a

í , b

2 = X b

1 Összefoglalva: Ha adva vannak az xl + xl = + Pí)

2 _ _ (30> + x\ *= (

e

xi + Pi)

2 292