Az Egri Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1968. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis ; : Nova series ; Tom. 6.)

Mivel a kúpszeletek meghatározó adataiból At, B

h C,- (i 1,2), az együtthatókból pedig a másodfokú egyenlet gyökei körzővel és vonalzóval megszerkeszthetők, a metszéspontok abszcisszái körzővel és vonalzóval szerkeszthetők. Az ordináta értékek (14)-ből nyerhetők. Ezzel a tételt igazoltuk. A következőkben megadunk olyan transzformációt, amely a kúpszeletek metszéspontjainak szerkeszthető képelemeket feleltet meg. Induljunk ki a kúpszeletek polárkoordinátás egyenleteiből, ahol a pólus a közös fókuszban van. / r = P- (15) 1 + £ COS Cp 1 e Bevezetve az = R , — = m és g = R+mcos^ jelöléseket, (15)-öt a köp p vetkező alakban írhatjuk: r = —^ = —. Innen (16) R + m cos cp o r g = 1 . (17) Tekintsük azokat a leképezéseket, amelyeknél az eredeti elemek és képelemek közötti összefüggést (17) írja le, és ezek egy egyenesre illeszkednek. (15), (16) és (17)-ből belátható, hogy ha r az eredeti elem távolsága a pólustól, akkor g a képelem távolsága a pólustól. a) Legyen a leképezés ponttranszformáció. Akkor (17) szerint HP-HP' = 1 és HP' - g = R + m cos cp, (18) ahol H a közös fókusz. Azon pontok mértani helye, amelyek (18)-nak eleget tesznek, a Pascal-féle csigavonal. A kúpszeletek metszéspontjai a csigavonalak közös pontjai lesznek. Ebben a transzformációban a metszéspontok képelemei nem szerkeszthetők. (Ilyen transzformáció az inverzió. Kimutattuk, hogy az inverzióban a kúpszelet képe a Pascal-féle csigavonal.) b) Tekintsünk most olyan leképezést, amely egy síkot úgy képez le önmagára, hogy ponthoz és egyeneshez a duálisát rendeli kölcsönösen egyértelműen, illeszkedés tartóan, és (17) szerint. Ebben a leképezésben, ha r a kúpszelet pontjainak távolsága a közös fókusztól, g a képegyenes távolságát jelenti. Mit burkolnak azok az egyenesek, amelyeknek egy fixponttól mért távolságukra az alábbi összefüggés érvényes: g = R + m cos cp ? Ezeknek az egyeneseknek egyenleteit a következő formában írhatjuk fel: F(x, y, a) = x sin a + y cos a — g = 0 , (19) 71 ahol a — cp . 9 285-