Az Egri Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1964. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis ; : Nova series ; Tom. 2.)

III. Tanulmányok a természettudományok köréből - Dr. Pelle Béla: Az Appendix néhány paragrafusának vizsgálata a maradék axiomarendszer alapján

3. Illeszkedjen BN-re a tetszőleges ß sík. Ekkor a B-N+nhez párhuzamos AM

+-re legfeljebb egy olyan a sík illeszthető, amely nem metszi ß-t. (Erre a tételre Kárteszi az Appendixhez írt megjegyzésekben a következő bizonyítást adja:) Bizonyítás: AM merőleges vetülete ß-n legyen A' M\ (AM; A' M') sáv síkja merőleges ß-ra, így az előző tétel szerint csak az az a sík nem metszi ß-t, amely merőleges az MAA' síkra. 4. A BN-re illesztett tetszőleges ß síkhoz AM-re mindig illeszthető egy a sík úgy, hogy a és ß nem metszik egymást. Bizonyítás: Illeszkedjen BN-re a tetszőleges ß sík. Legyen AM

1" és BN

+ párhuzamosok középvonala CP és ennek merőleges vetülete ß-n FE. A tranzitivitás alapján FE

r || CP

+1| AM

+. Tükrözzük FE-t CP-re, akkor a 8-as tételek értelmében GH és FE-nek CP középvonala. így a tranzitivitás alapján GH

+ |j AM

+. Tekintsük a GH és AM párhuzamosok síkját. Erről kimutatjuk, hogy merőleges [GH, FE] síkjára. Legyen |CF| J FE, j CG | _L GH, | AB | J_ CP-re K-ban. K felezőpontja | FG J-nek és AB ;-nek is a szerkesztés alapján. így AGK és BFK háromszögek egybevágók, tehát AG = FB

1, FCG egyenlőszárú háromszögből GC = FC- és BCA egyenlőszárú háromszögből j AC j = |BC|. De akkor az AGC

A = BCF^ háromszöggel. Mivel CFB = R, akkor AGC <£ is = R. CG tehát merőleges az a síkra, mert merőleges GH, GA két egyenesére. így az a és ß síkok merőlegesek [FE, GH] síkjára, az előző pont szerint tehát nem metszik egymást. Vagyis a BN-re illeszkedő tetszőleges ß-hoz van olyan AM-re illeszkedő a sík, hogy a és ß nem metszik egymást. Ezekből következik, hogy tetszőleges ß-hoz egy és csak egy a illeszkedik, amelyek nem metszik egymást, és a, ß az [AM, BN] sík azon oldalán metszik egymást, ahol a lapszögek összege < 2R. A £ N 8. ábra 26* 499