Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1998. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 25)
KIRÁLY B. ÉS OROSZ GYULÁNÉ: Egy euklidészi gyürü
Egy euklideszi gyűrű KIRÁLY BERTALAN,* OROSZ GYULÁNÉ Abstract. We showe in this paper that the polynomial ring over a field of the infinite cyclic group is an Euclidean one. Legyen R(g) a { g) végtelen ciklikus csoport T test fölötti csoportgyűríije. A T(g) minden eleme felírható (1) x = ^a l 9 l, a teT I<EZ alakban, ahol csak véges sok o, ^ 0. Könnyű belátni, hogy a T[g] és T[g~ l] polinomgyürűk (ha úgy tekintünk a g-re, ill. a g~ l-ie mint határozatlanokra) a T(g) részgyűrűi. Ismeretes, hogy a test fölötti egyhatározatlanú polinomok gyűrűje euklidészi gyűrű. Az euklidészi gyűrűk fontos szerepet játszanak a matematikában, többek között az algebrában és a számelméletben is. Ez annak tulajdonítható, hogy egész sor olyan tulajdonsággal rendelkeznek, amelyek megkönnyítik alkalmazásukat (pl. az euklidészi gyűrűk főideálgyűrűk, érvényes bennük az egyértelmű prímfaktorizáció tétele, legnagyobb közös osztó létezése stb.). Az is ismeretes, hogy a test fölötti kéthatározatlanú polinomok gyűrűje nem euklidészi gyűrű. A T(g) csoportgyűrűt nem tekinthetjük sem egyhatározatlanú, sem pedig kéthatározatlanú polinomgyűrűnek. Bebizonyítjuk, hogy ennek ellenére a T(g) euklidészi gyűrű. Tétel. A végtelen ciklikus csoport test fölötti csoportgyűrűje euklidészi gyűrű. A tétel bizonyításához szükségünk lesz néhány jól ismert fogalomra és állításra. Ismeretes, hogy a gyűrű egységeinek halmaza a szorzásra nézve csoportot alkot amelyet U(R)-rel fogunk jelölni és az R gyűrű egységcsoportjának fogunk nevezni. A továbbiakban R integritástartományt fog jelölni, azaz kommutatív, egységelemes, nulloszt óment es gyűrűt. * A kutatást az OTKA T16432 sz. pályázata támogatta.
