Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1998. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 25)
KIRÁLY B. ÉS OROSZ GYULÁNÉ: Egy euklidészi gyürü
Egy euklideszi gyűrű 73 alakú, vagyis x' normált elem. Az x' = a^ 1g" kx egyenlőségekből nyerjük, hogy x = a kg kx'. Tehát x előállítható (2) alakban és x ~ x'. 2. Legyen x' = 1 + a tg l és y' = 1 + ^ Az x',y' a T[g] 0<i£Z 0<i£Z pohnomgyíírű elemei és x'y' = l+ Y, ^eTlg], o<tez azaz x'y' normált elem. 3. A (2) szerint x és y felírható x = ag kx' és y = ßg ny(a, /3 E T, k, n £ Z) alakban. Ezért (3) xy = aßg k+ nx ,y' = aßg k+ n{ 1+ ^T G T[g}. o<i ez Innen következik, hogy (xy)' = x'y'. A továbbiakban a (2)-re való hivatkozás nélkül is fogjuk alkalmazni a T(g)~beli elemek (2) alakú előállítását. 2. Lemrna. A T(g) egységcsoportjának elemei *]g l (7 G R 1 i £ Z) alakúak. Bizonyítás. Legyen x £ U(T(g)). Az előző Lemma értelmében x és x _ 1 előállíthatók x = ag kx' és x~ l = ßg ny' (a,/? 6 T, k,n £ Z) alakban. Ekkor figyelembe véve azt, hogy x' és y' normált elemek az xV = i+ £ ^eTfe] 0<i€Z
