Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1995-1996. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 23)

KlRALY, B., The Lie augmentation terminals of group

Maradékosztály-gyűrű fölötti polinomgyűrű ideáljairól 73 alakban, ahol h(x) és g(x) az 1. Lemmában említett polinomok, s(x) és q(x) pedig a Z

p2[x] polinomgyűrű megfelelő polinomjai. Két eset lehetséges: deg/(x) > deg h(x)] deg f(x) < deg h(x). Megjegyezzük, hogy az 1. Lemma miatt igaz a következő egyenlőtlenség: d

eg fi

x) > degg(x). Tekintsük az első esetet. A 2. Lemma értelmében (1) /(*) = h(x)s{x) + r(x), ahol (2) deg r(x) < deg h(x). Könnyen belátható, hogy r(x) £ /, és ezért a (2) egyenlőtlenségből és a h(x) pohnom tulajdonságából követekzik, hogy az r(x) főegyütthatója osztható jy-vel. Ha degr(:r) < deg(/(z), akkor az 1. Lemma következtében r(x) — 0, és így f(x) = h(x)s(x) + (?(x)0 és ebben az esetben a Lemma állítása igazolást nyert. Tekintsük most azt az esetet, amikor deg r(x) > deg g(x). írjuk fel r(a;)-et két polinom összegeként T(X) = <pl(x) + <~P2{X) úgy, hogy az (ßi(x) az r(x) polinom azon tagjaiból áll, melyek együtthatói nem oszthatók p-vel, a. tp

2(x) pedig az r(x) azon tagjait tartalmazza, melyek együtthatói oszthatók p-vel, azaz cp

2(x) = ptp'

2{x) alakú, ahol (f'

2(x) egyik együtthatója sem osztható p-vel. Mivel az r(x) polinom főegyütthatója osztható p-vel, (3) áegr(x) = deg^M > deg^i(x). Figyelembe véve a (2) egyenlőtlenséget a (4) deg ip\{x) < deg h(x) egyenlőtlenséghez jutunk.