Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1995-1996. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 23)
KlRALY, B., The Lie augmentation terminals of group
Maradékosztály-gyűrű fölötti polinomgyűrű ideáljairól VERES ZSUZSANNA Abstract. (On a ideals of a polinomial ring over a residue class ring) In this paper we describe the system of generators of ideals of the ring Z pn [x], where Z pn is the residue class modulo p n , p is a prime and n is a natural number. Jelöljük Zpn [zj-szel a Z pn — p n szerinti [p £ Z prím, n £ N) maradékoszt ály-gyürű — fölötti polinomgyűrüt. Legyen / a Z p2 [a;] polinomgyűrű tetszőleges ideálja. A továbbiakban g(x) ^ 0 egy rögzített minimális fokszámú polinom azon /-beli polinomok közül, melyek főegyütthatója osztható p-vel, és h(x) ^ 0 egy rögzített minimális fokszámú polinom azon /-beli polinomok közül, melyek főegyütthatója nem osztható p-vel. Jelölje deg/(:r) az f(x) polinom fokát. 1. Lemma. Legyen / a Z p2[x] polinomgyűrű tetszőleges ideálja és g{x), h{x) a fent említett polinomok. Ekkor a g{x) pohnom minden együtthatója osztható p-ve 1, és foka nem nagyobb h(x) polinom fokánál, azaz a g(x) fokszáma minimáHs az /-beh polinomok között. Bizonyítás. Legyen g{x) = a nx n -f a n_\x n~ l + • • • + A\x + CLQ . Ekkor p osztja az a n-1, azaz az a n együttható a n = p • a' n alakban írható fel, ahol a' n nem osztható p-vel. Mivel g{x) az / ideál eleme, ezért pg(x) is az I ideál eleme és pg(x) = p 2a' nx n + pa n-ix n~ l + \-pa\x + pa 0. A pg(x) pohnom minden együtthatója osztható p-xe 1, és mivel a Z p2 gyűrűben p 2 = 0, foka kisebb a g(x) fokánál. Ez csak abban az esetben lehetséges, ha pg{x) = 0. Tehát pa{ = 0 (i = 1,2,.. ., n), azaz a g{x) polinom minden együtthatója osztható p-vel, és így, g(x) — pgi(x) {gi(x) £ Z pí[x]) alakban írható fel. Ha h(x) = b kx k + b^-\x k~ l + • • • + b\x + b 0, akkor a feltétel szerint b k nem osztható p-vel, és ezért a Z p2 együtthatógyűrű egységcsoportjának eleme. így pb k ^ 0, és a ph{x) = pbkx k-\-pbk~\X k~ l + • • --\-pbiX+pb 0 pohnom foka megegyezik a h(x) polinom fokával. A ph(x) polinom főegyütthatója osztható p-vel, ezért foka nem lehet kisebb a g{x) polinom fokánál. Mivel degh(x) = deg ph(x), így a h{x) pohnom foka sem kisebb a g{x) pohnom
