Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1995-1996. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 23)
SZEPESSY B.: A taszító fixpontokról
A taszító fixpontokról SZEPESSY BÁLINT Abstract- (On the repelling fixpoints) If the iterative pointsequence x 0,xi,x2,... has the limit value c then c, is said to be a fixpoint of first order and the points x 0,x l lx 2 ,••• belong to the point c. A fixpoint c is called to be a repelling point if it has no belonging point except c and its inverse iterated points. In this paper we prove that repelling fixpoints of first (or higher) order can make a segment in a given closed interval. 1. Bevezetés Legyen f(x) az [a, b) ( a < b) zárt intervallumon értelmezett olyan egyértékü valós függvény, amely eleget tesz a következő feltételeknek: 1. f(x) az adott szakasz minden belső pontjában folytonos; a kezdő és végpontban jobbról, illetve balról folytonos; 2. f(x) az [a, b] intervallumot önmagára képezi le; 3. nincs olyan részintervalluma az adott szakasznak, amelyben f(x) — =konstans teljesül. Az f(x) függvényt iterációs alapfüggvénynek nevezzük az adott intervallumon. Az fo(x) = x, fi (x) = f(x), f2 (x) = /(/(s)) f n(x) = = /(/ n_i(x)), . .. függvényeket az f(x) függvény 0-dik, első, második, . . n-edik (n-edrendű), . .. iterált függvényeinek (iteráltjainak) nevezzük. Az f n(x) {n — 2,3 .. .) függvények is mind rendelkeznek az 1., 2., 3 tulajdonságokkal. (Ezt a közvetett függvény folytonosságára vonatkozó tételekből teljes indukcióval könnyen bizonyíthatjuk.) Teljesülnek az f n+ m(x) = = fn(fm(x)) = fm (fn{x)) azonosságok is. Ezért bármely x 0(E [a, 6]) pontnak létezik az x n +i — f(x n) képlettel alkotott xq,xi, X2,..., x n,. .. iterációs pontsorozata és minden n-re x n G [a, 6]-nek. Az x n pontot az x 0 pont n-edrendü (n-edik) iteráltjának vagy rákövetkezőjének mondjuk. Ha f(c) = c, akkor a c pontot az f(x) függvény elsőrendű fixpontjának nevezzük. Ha f n{c) / c, n = 1,2, 3..., r - 1 esetén, de f r{c) = c, akkor c az f(x) függvény r-edrendü fixpontja. Ekkor a Ci, C2,. .., c r_i, c r pontok is páronként különböző r-edrendü fixpontok [2], Ha az XQ pont iterációs pontsorozatának c a határértéke, akkor c elsőrendű fixpont és azt mondjuk, hogy x 0 pont a c ponthoz tartozik.
