Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1995-1996. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 23)
M. MLGNOTTE és PETHŐ A.: AZ an + bn = z3 diofantoszi egyenletről
Az a n + b n = z 3 diofantoszi egyenletről MAURICE MIGNOTTE és PETHŐ ATTILA* Abstract. (On the Diophantine equation a 2+b n =z 3) Let a,b,n,z be natural numbers for which the equation a n+6 n=z 3 holds. We prove that under the conditions n>l ,a<i>,a+b<16 and (a,6)=l the only solution is (a,b,n,z)=(2 ,11,2,5). In the proof we use a combination of elementary congruence considerations and an A. Baker's type theory. 1. Bevezetés Legyenek a és b egész számok. Pethő [9], valamint Shorey and Stewart [12] egy általános tételéből következik, hogy van olyan csak a és 6-től függő, effekíven kiszámítható c > 0 konstans, hogy az (1) a n + b n = z 3 diofantoszi egyenlet minden n, z 6 Z + megoldására n,z < c teljesül. Dolgozatunkban Z + a pozitív egész számok halmazát fogjuk jelölni. Az effektív megoldhatóság azonban nem jelenti azt, hogy egy konkrét egyenlet összes megoldását ténylegesen meg is tudjuk határozni. A megoldásokat korlátozó konstansok ugyanis általában olyan nagyok, hogy addig a határig a közvetlen behelyettesítés reménytelenül hosszú ideig tartana. A 4. részben látni fogjuk például, hogy haa = 2és6=ll, akkor az (1) egyenletből n-re közvetlenül levezethető felső korlát 4,5 • 10 1 0. Bizonyos egyenlettípusokra sikerült az utóbbi időben olyan numerikus technikákat kifejleszteni, amellyel az elméleti felső korlát annyira lecsökkenthető, hogy az alatt már a behelyettesítés is célhoz vezet. Ilyen módszereket dolgoztak ki többek között Thue egyenletekre: Pethő und Schulenberg [10], de Weger [15]; Thue-Mahler egyenletekre: de Weger and Tzanakis [14]; és indexforma egyenletekre: Gaál and Schulte [4] valamint Gaál, Pethő and Pohst [2], [3]. Az (l)-el analóg a n + b n = z 2 A szerző ez úton fejezi ki köszönetét az Université Louis Pasteur vendégszeretetéért és olyan alkotó légkör biztosításáért, amelyik többek között ennek a dolgozatnak az elkészítéséhez is hozzájárult.
