Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1994. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 22)

J. P. JONES és Kiss P.: Teljes hatványok lineáris rekurzív sorozatokban

Teljes hatványok lineáris rekurzív sorozatokban JAMES P. JONES* és KISS PÉTER** Abstract. ,,Pure powers in linear recursive sequences." A linear recursive sequence G of order k is defined by the integer initial terms Co, G \, . . . , G k—1, integer constansts A\, , • . . , Ak and by the recursion G

n — A\ G

n—\ + ...+ A

kG n-k for n > k. In the case k = 2 it is known that there are only finitely many perfect powers in such sequence. In the generál case, under certain hypotheses, we show that for any n there exists a number ÇQ, depending on G and n, such that the équation G

r

nG

q

x~

r = W

q in positive integers x, w, q, r has no solution with x > n, q > qo and 0 < r < ç/2. Legyen R = R(A, B, RQ, R\) egy másodrendű lineáris rekurzív sorozat, melyet az R

n = AR

n1 + BR

n„2 (n > 1) rekurzió definiál, ahol A,B

:RQ és R\ rögzített egészek. A következőkben feltesszük, hogy az R sorozat nem degenerált, azaz ha a, ß jelöli az x

2 — Ax — B = 0 egyenlet gyökeit, akkor aj

ß nem egységgyök. Az R(l, 1,0,1) és Ä(2,1,0,1) speciális sorozatokat Fibonacci, illetve Pell-sorozat oknak nevezzük, és F-fel, illetve P-vel fogjuk jelölni. Az R sorozat tagjai között előforduló teljes hatványokkal már többen foglalkoztak. A Fibonacci-sorozat tagjaira, a Fibonacci-számokra Cohn [2] és Wylie [23] megmutatták, hogy F

N akkor és csak akkor teljes négyzet, ha n = 0,1,2 vagy 12. J. C. Lagarias és D. P. Weisser [7], Pethő [12], továbbá London és Finkelstein [9,10] bizonyították, hogy F

N csak akkor teljes köb, ha n = 0,1,2 vagy 6. Ljunggren [8] egy eredményéből következik, hogy egy P

n Pell-szám csak akkor teljes négyzet, ha n = 0,1 vagy 7, Pethő [13] pedig igazolta, hogy csak ezek a teljes hatvány Pell-számok. Hasonló, de általánosabb eredményeket nyertek McDaniel és Ribenboim [11], Robbins [19,20], Cohn [3,4,5] és Pethő [15]. Szép és általános eredményt igazolt Shorey és Stewart [21], valamint A. Pethő [14]: bármely nem degenerált másodrendű * Research was supported by the National Scientific Research Council of Canada, Grant No OGP 0004525 ** A kutatást (részben) az Alapítvány a Magyar Felsőoktatásért és Kutatásért és az OTKA 1641. sz. pályázata támogatta.