Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1994. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 22)

PHAM VAN C.: Az f(n + a) + f(n + b) + f{2n - 1) + f(2n + 1 ) = c egyenlet teljesen additív megoldásai

4 Pham Van Cliung Kátai Imre bebizonyította, hogy ha /i, /

2, /3 teljesen additív függvények és f

1(n-a) + f

2(n) + f

3{n + b) = 0 fennállnak minden n > a + 1 egész számra, akkor minden p prímszámra, amelyre p > max{3, a + b}, az /i(p), /2(í>)> fïip) előállíthatók az /i(ç), /"2

(ç) és /3(9) értékek lineáris kombinációjaként, ahol q < max{3, a + b] prím (lásd. [1]). Mi alkalmazni fogjuk a fenti cikkben használt módszert és vizsgáljuk a következő kérdést: „Melyek azok az / teljesen additív függvények, amelyekre f(n + a) + f{n + b) + f(2n - 1) + /(2n + 1) = c {<2,

b G Z, c G R}." Mint látjuk majd, bármely |a| <5, |6| <5 pár esetén alkalmas n értékeket behelyettesítve egyértelműen megoldható egyenletrendszert kapunk, ahonnan f(p) = 0 következik az első néhány prímre. Ez a feltétel elégséges, hogy / = 0 következzen, mint a következő tétel mutatja. 1. Tétel. Legyen / teljesen additív függvény, a, 6 G Z, c E R. Tegyük fel, hogy (1) " /(2n - 1) + /(2n + 1) + /(n + a) + /(n + 6) = c teljesül minden n > max{ —a, —6, 0} természetes számra. Ha f(p) = 0 fennáll minden p < M(a, 6) = max{2 |6| + 3, 2 |a| + 3} prímre, akkor / = 0. BIZONYÍTÁS. A feltételek miatt létezik UQ pozitív egész szám, melyre 1 < 2n

0 — 1, 2n

0 -f 1, n

0 + a, n

0 + b < M(a, 6). így 0 = f(2n

0 - 1) + /(2n

0 + 1) + /(n

0 + a) + f(n

0 + a) = c tehát c = 0. Legyen q > M = M(a,b) tetszőleges prímszám és továbbá tegyük fel, hogy minden p < q prímre f(p) = 0. Bebizonyítjuk, hogy f(q) = 0. Az (l)-ből az n = helyettesítéssel /(?-2) + /(ç) + /(^ + a) + =0-