Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1994. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 22)
MÁTYÁS F.: K-adrendű általánosított Farey—Fibonacci sorozat, és tagjai logaritmusának eloszlása
K-adrendű általánosított Farey—Fibonacci sorozat, és 43 Gj+m/Gj tört képezhető a 0 < i, i ^ j, 0 < j < k (ill. 0 < i, i ^ j, 0 < j < k) feltételek esetén és minden ilyen tört szerepel is az FG k sorozatban. Az indexdifFerenciák egyesével való növekedése szintén a Lemma következménye. A 2. TÉTEL BIZONYÍTÁSA. Jelölje FG' k az FG k sorozatból véges sok tag elhagyásával kapott, egynél nagyobb törtekből álló részsorozatát. Az 1. TETEL-ből adódik a — (4)-hez hasonló — FG k sorozat konkrét alakja, így a kívánt k + 1 (ill. GQ = 0 esetén k) diszjunkt részhalmaz a következő: i > j ahol j = 0,1,2,..., k a lemma b), c), d), e), része esetén, míg j = 1,2,..., k , k , k a lemma a) része esetén és FG k = tj Kj (ill. FG k — |J K 3). j=o j=1 A 3. TÉTEL BIZONYÍTÁSA. A log c(FG k) sorozat modulo 1 egyenletes eloszlásához elegendő belátni, hogy a log c(FG k) sorozat egyenletes eloszlású modulo 1. Ez utóbbihoz pedig elegendő belátni, hogy az előző Kj halmazok (sorozatok) elemei logaritmusaiból képzett log c(A'j) sorozatok egyenletes eloszlásúak modulo 1. Vizsgáljunk meg egy tetszőleges log c(Kj) sorozatot: log c( K j) = |log c ^ , log c^gi ,log c ,..., J Az (1) explicit alakot használva: G i4-n.4-1 , Gi+n \ .. , Gj+ n + \ lim (log c - log c = Um log n-+oo\ (j,, (jr,- / n—+oo = hm log j Kjj y G j+ n a aj+n+1 + bßj+n+l aai+ n + bßi+ n 1 bipy+n+t = hm log c a a Jflvj+ n = l oS C a ' Tl—^oo 1 I 2.1 Ë.) J ' a V a ) mivel a (2) feltétel miatt a>l, /? < 0 és a >| /3 |. így J. G. van der Corput idézett tétele szerint, ha log c a irracionális szám, akkor a log c(Kj) sorozat modulo 1 egyenletes eloszlású, cLZ 3iZ 3ß tétel elégséges volta bizonyítást nyert. A továbbiakban megmutatjuk, hogy log c a racionális volta esetén nem lehet a log c(jFG k) egyenletes eloszlású modulo 1. Tekintsünk most is egy tetszőleges log c(/i J) sorozatot:
