Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1994. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 22)
MÁTYÁS F.: K-adrendű általánosított Farey—Fibonacci sorozat, és tagjai logaritmusának eloszlása
K-adrendű általánosított Farey—Fibonacci sorozat, és tagjai logaritmusának eloszlása MÁTYÁS FERENC Abstract. (Farey—Fibonacci sequence of order k and the distribution of the logarithms of it's terms) This paper deals with the Farey—Fibonacci sequences, that is with the set of G,/ G ) (0 < i, i £ j, 0 < j < k), where G, and G, are the terms of a second order linear récurrence under some conditions. It is proved that {log c (G,/Gj )} is uniformly distributed modulo 1 if and only if log c O L is not a rational number, where OL dénotés the positive root of the équation X 2 — Ax — B = 0 (A > 1, B > 1, G n = = AG nX + BG n-2,0 < G 0 < Gi). Jelöljön G = G(A, B,Go,Gi) = {G n)^L 0 egy másodrendű lineáris rekurzív sorozatot, melyet az A, B, Co, G\ rögzített egészekkel és a G n = AGr, _i + BG n-2 (n > 1) rekurziós formulával értelmezzünk. Ismert, hogy ha AB yé 0,Gq+GI / 0 és ha az x 2 - Ax - B = 0 egyenletnek két különböző a, ill. ß (|a| > \ß\ ) gyöke van, akkor (1) G n = aa n + bß n (n > 0), ahol a = (G 1-ßG 0)/(ot - 0) és b = (G^aGo)/^ - a). A G — G(A,B, 0,1) sorozatot R-rel, tagjait J? n-nel, míg a G = = G(l, 1,0,1) sorozatot F-fel, tagjait _F n-nel szokás jelölni. K. Alladi [1] az F./p. (1 < i < j < k) törtek növekvő sorrendben írt sorozatát vizsgálta és több — a Farey-törteknél [10] is ismert — tulajdonságot bizonyított. Innen ered a fenti törtek Farey-Fibonacci-féle törtek elnevezése. Mátyás F. [7] és [8]-ban általánosította K. Alladi [l]-beli eredményét az alábbi feltételeket kielégítő G = G(A, B,Go,G\) sorozatokra: A>1,B>1, 0<G o<G u illetve ha G 0 ^ 0, akkor (2) 0 < GI/G 0 < OLS és GI/G 0 / CK, «1,03, ahol ai(i = 1, 3,5) jelöli az R xx 2 — 2 + BR{-i)x — BR{+\ = 0 egyenlet pozitív gyökét (a; pozitív gyök egyértelmű létezése és a < ai < 0:3 < q 5 fennállása az A,B,G0 és Gi-re tett feltételekből bizonyítható (1. [8])).
