Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1993. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 21)
Pham Van Chung: Egy klasszikus probléma általánosítása. II
x n = ax s (mod m k) kongruencia nem túl nagy abszolút értékű megoldásait, valamint a megoldások számát Megmutatjuk, hogy az 5 = 1 esetben elegendő az n < <p(m k) esetet, továbbá az a-1 és (n-l,<p(m)) = l együttes fennállása esetén az n = 2 esetet megoldani. Ezután vizsgáljuk a megoldásokat általában. Mielőtt rátérünk az (1) x" = ax s (mod tri) kongruencia megoldására, néhány speciáüs esettel foglalkozunk. 1. Tétel: Ha (a,m) = 1 és n - k<p(m) + r ((p az Euler-függvény) és 0 < r < (p{m), akkor a következő két kongruencia ekvivalens (2) x" = ax (mod m) (3) x r = ax (mod m). Bizonyítás: Megmutatjuk, hogy az első kongruencia megoldásai kielégítik a másodikat és viszont Legyen x 0 egy megoldása a (2) kongruenciának, továbbá (x 0,m) = d. Ezek alapján léteznek x, és m x egészek, melyekre x 0 = dx x, m = dm l és (Xj,m x) ~ 1. Ezeket (2)-be helyettesítve és d -vei osztva x"d n A = ŰX, (mod/«,). De (x 1,m 1) = l miatt mindkét oldalát XJ-gyel osztva kapjuk, hogy (Xjd) n~ l = a (mod m x). Ez csak úgy állhat fenn, ha (x^Wj) = 1, mivel (a,m) = 1. 55