Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1993. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 21)

Liptai Kálmán: Pell egyenletek megoldása lineáris rekurzív sorozatok segítségével

(2.) Kiss Péter említett eredménye tételünkből adódik. Legyen ugyanis D-a

2 +1, akkor u

Q = 2a

2 + l,v

0 = 2a és a tételünk szerint az x

2 - Dy

2 = N egyenletnek a megoldásai olyan a G(2u

o

y\,G

0,G

l) és H(2U

0

>\,H

Q,H

}) sorozat tagjaiból képzett (x,y) = (G

I,H

I) számpárok alkotják, ahol 0<Gj <2a4~N, ha N>0 és 0 <G, ha N <0. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy (2) megoldható és (x

0,y

0) egy megoldás. Ismert, hogy ha (3) + VDy

n =(x

0 + VDy

0)(u

0 + Vz)v

0)" (« = 0,1,2,...), akkor (x

n,y

n) számpár is megoldása a (2) egyenletnek. (Lásd például Niven-Zuckerman: Bevezetés a számelméletbe, 153. oldal [10].) Ekkor (4) x

r

l-VDy„ = (x

o-VDy

o)(u

0-VDv

0y (« = 0,1,2,...) is fennáll. A (3) és (4) egyenletek segítségével x

n és y

n meghatározható: (5) x = s

0-JPy

0 2 2 (6) ^ 2Vd 2 yfD 19