Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1991. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 20)

Phan Van Chung: Egy klasszikus probléma általánosítása

- 8 G. P. Popovici 151 bizonyította, hogy x

2 = xCmod 10

n > kongruencia megoldásai x

f 2 , 5 Cmod 10

n>. Azonkívül Goodstein C31-ben igazolta, hogy ha m = u*v,Cu,v>=l és q olyan pozitív egész szám, hogy u

q =1 Cmod v>, akkor rjv'' " ' L , 2 k x = u

M Cmod m > megoldasa az x = x Cmod m > kongruenciának. A mi esetünkben hasonló tétel igazolható. 3. TÉTEL. Legyen Ca,m) = 1. Ekkor C5? x

2 = ax Cmod m) kongruencia minden megoldása: x == au^

tv

) Cmod m> alakú, ahol u*v = m, (u, v) = 1 ós '/> az Eulei—függvény. BIZONYÍTÁS: A 2. Tétel alapján C5) megoldásai x = uy alakúak, ahol m = uv, (u.v) = 1 és uy = a Cmod v). De akkor y = a * u^*" v

5 1 cmod v> és igy x s uy s a*u^

>tv

5 mod v>. Szintén a 2. Tételből következik, hogy minden (

u' v ) = * feltételt kielégítő u-hoz mod m egyetlen x megoldása tartozik az C5) kongruenciának, továbbá kölönböző u értékekhez inkongruens x—ek tartoznak mod rn. Ezek alapján állapítsuk meg a megoldások számát. Tegyük fel. hogy az m modulusnak r különböző prímtényezője van, a ct azaz m = P ... P r . Mint láttuk, minden m = u*v; (u,v)= 1 1 r felbontáshoz pontosan 1 megoldás tartozik. Innen következik, hogy C5) -nek annyi különböző megoldása van. ahányféleképpen