Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1991. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 20)

Phan Van Chung: Egy klasszikus probléma általánosítása

- 12 8. TÉTEL. Legyen (a,m) =1 és jelöljük S

y -val az 2 y x = ax C

mod m ' ) kongruencia inkongruens megoldásainak összegét. Ekkor S, = a*2

r ~

4 Cmod m

V

:) , k ahol r az m különböző prímtényezőinek száma. BIZONYÍTÁS: A 3. Tétel alapján ha \

f s a'u^

Cv

) Cmod m

k ) egy megoldás, akkor x

2 = av

,í>(u

) is megoldás, ahol m

k = u*v; Cu,v> = 1. De [x

i

fx

2] = a és Ca,m> = 1. így , m

k) = 1 és =0 Cmod m) . Ezért a 7. Tétel alapján xi

+

x

2 = a Cmod m

k>. De a Tétel miatt 2

r 1 ilyen megoldáspár van, ezért a megoldásokra 2r -1 5 x. = 5 a = 2

k ~

1 a Cmod m

k). í Például: x

2 = x Cmod 210) megoldásainak összege: 5 x. = 2

4~

1 =8 C mod 210 > mert 210 = 2

,3*5'7 miatt r = 4. És valóban, számitógép segítségével a következő megoldások adódtak: xi = 1 X

S = 70 = 106 X 1 3 = 175 X2 = 15 X* = 85 xio = 120 Xl* = 190 X3 = 21 = r 91 xti = 126 xis = 196 X

4 = 36 X 8 = 105 X l 2 = ia4 Xl

0 = 210 Ezek összege J x^ = 1688 = 8 Cmod 210>.