Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1991. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 20)

Sashalminé Kelemen Éva: A főiskolai geometria anyag egy lehetséges megalapozása. I. rész

- 108 miatt Q<=3Z,P[. A Q'-t P',Z -vei párhuzamosan vetítve ujabb R pont adódik, s a konstrukció végtelen sok pontot eredményez. 3.1 TÉTE

L: Tetszőleges, a síkbeli egyenes esetén létezik az {a\e> halmaznak két, c^ és a

2, végtelen, konvex halmazra történő egyértelmű felbontása. Az a sík tetszőleges pontjára teljesül, hogy ha X

t <£ ct

t és X

2 e <*

2 akkor az CX

1,X

21 metszi az e egyenest egy P pontban, és P^X^ Ci=l,2). BIZONYÍTÁ

S: 1. A létezés igazolás

a: Legyen e-t A pontban metsző a -bell egyenes a. Jelöljük >p —vei a —nak e—vei párhuzamos, a-ra történő vetítését, a

t és a

2 -vei az e egyenes A kezdőpontú nyílt félegyeneseit. Ezek a félegyenesek konvexek, és az aVCA) halmaz felbontását adják. Ca

jUa

2=a\(A> és a

i n a

2 = 0 Legyen a

t azon a beli pontok halmaza, melyek képe a

4, o<

2 pedig azoké, melyek képe a

2; ezek konvex halmazok. Az a

t, a

2 számossága legalább akkora, mint a

t 111. a

2 -é. 2. Egyértelműsé

g: Legyen a*, a*, az <a\e> egy másik, konvex halmazokra történő felbontása, azaz a* a* = < a \ e> és ' 12 a" u a* = 0. A e(a*) és a <pCa*) halmazok is konvexek, tehát 12 1 2 az a , a

2 félegyenesek valamelyikével egybeesnek. Igy az ct* halmazok valamelyikét az 0^(1=1,2} halmazok valamelyike tartalmazza. Mivel a* u a* = a u a - <a \ e> és az a.-k egyike sem 12 12 t üres, igy vagy ct* = a

± és a* = c<

2 vagy ct* = c<

2 és a* = . Tehát az indexek sorrendjétől eltekintve az c**, a* felbontás egybeesik az o^ , a

2 felbontással. 3. Ha X. <s a és X„ <s a , akkor az tX.,X. 3 metszi e-t. A 11 2 2 i 2 feltételből következik, hogy a [ X , X 3 > végpontjai az a

4 és a

2 —n vannak, ami azt jelenti, hogy ezen szakasznak az A belső pontja. Igy a VIII. axióma alapján az tX

1,X

2 3—t az e