Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1984. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 17)
II. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBŐL - Szepessy Bálint: Megjegyzések a valós függvények iterálásához III. (A tetszőleges magasrendű ciklusokról)
szakaszok belső pontjai, s ezek közös belső pont nélküli szakaszok. így az r, Tj, r 2, . . ., r n_ 1, r n sorozat pontjai között nincsenek egybeesők. Ezzel a tétel bizonyítását befejeztük. Megjegyzés: a < c vagy q < b esetén a tétel érvényessége nem függ az f(x) függvény [a, c] vagy [q, b] szakaszbeli menetétől. Ugyancsak nem befolyásolja a tétel érvényességét d < p esetben f(x) (d, p] szakaszbeli viselkedése. Lényegében kihasználatlanul maradt a bizonyítás során az alapfüggvévénynek az említett szakaszokban való folytonossága is. E tételéhez hasonló bizonyítással igazolható a következő 2. tétel. Legyen a < c < d hés f(x) az [a, b] szakaszban értelmezett olyan iterációs alapfüggvény, amelyre f(c) = a, f(d) = d teljesül, továbbá az [a, c] szakaszban van olyan [p, q] = o részszakasz, amelyet f(x) az [a, b] szakaszra képez le. Ekkor bármely (tdrmészetes) n szám esetén van az f(x) függvénynek n-edrendű f i xpontja. BIZONYÍTÁS. Az f(x) folytonossága által most a [c, d] szakaszban van olyan e (=s d) elsőrendű fixpont, amelytől balra f(x) < x, hacsak x 2= c. Tehát f(x) a [c, e] szakaszban minden értéket felvesz a és e között (2.ábra).
