Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1984. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 17)

II. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBŐL - H. Molnár Sándor: Másodrendű lineáris rekurzív sorozatok tagjainak szinuszairól

A {G

nx}

n~

0 (ahol x egy valós szám) modulo 1 konvergenciájával és eloszlásával foglalkoznak Kiss Péter és Molnár Sándor a [6]-ban. M. B. Gregori és J. M. Metzger [4]-ben a lim sin (U

NX7R) határértéket vizsgálják, ahol x egy valós szám. Megmutatják, hogy ez a határérték akkor és csak akkor létezik, ha x £ Q(|/5), továbbá, hogy ilyenkor értéke szükségképpen zérus. (Q(]/5)-el jelöltük a racionális számtest }/5-tel való bővítését.) A [8]-ban eredményüket általánosítottuk olyan másodrendű lineáris rekurzív sorozatokra, melyeknek az egyik definiáló konstansa B = 1, tehát melyek a G

0, G

l

s A egész számokkal és a G

n = AG

n_! + G

n_

2 ha n > 1, rekurzióval vannak meghatározva. Ugyanitt rámutattunk, hogy a {sin(G

NX7R)}

N~

0 és a {G

nx}

n~

0 moduló 1 sorozatok konvergenciái nem ekvivalens problémák. A [8]-beli módszerek felhasználásával általánosabb esetekben is tanulmányozhatjuk a lim sin (G

NX7R) (1) határértéket, ahol x egy valós szám. Jelen dolgozatunkban példát mutatunk arra, hogyan lehet az (1) határérték létezésének feltételét megadni, illetve értékét kiszámítani, ha a G sorozat karakterisztikus polinomjának egyik zérushelye Pisot- Vijajaraghavan-féle (a továbbiakban PV) szám (Az a > 1 valós algebrai egész számot PV számnak nevezzük, ha valamennyi a-tól különböző konjugáltjainak abszolút értéke egynél kisebb, Id. J. W. S. Cassels [1] 133-134. old.) TÉTEL: Legyen a G másodrendű lineáris rekurzív sorozat definiálva a GqjGí egész számokkal és a G

n = 4G

n_

1 -f 3G

n_

2ha n > 1, rekurzióval. Tegyük fel, hogy G^-f Gf ^ 0. Legyen x egy valós szám. A lim sin (G

nx;r) n->oo határérték akkor és csak akkor létezik, ha x eleget tesz az = 2(c

1-c

afl + (d

1-d

afl X (Gi-Go/?)^ formulának, ahol c

x, c

2, e tetszőleges egész számok és d

l

f d

2 egész számok, vagy k d

2 = d

2 = —, ahol k valamely egész szám. 826