Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1982. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 16)

II. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBÖL - H. Molnár Sándor: Háromszögek szögeinek lineáris függetlenségéről

k @i = m 02, (7) azaz cos k 0i = cos m 02 (8) Felhasználva, hogy a háromszög oldalai relatív primek — s ilyenkor Ci és c

2 páratlan — a 2. Lemma alapján cos k 0i redukált alakja valamely di egésszel , s~\ dl cos k 05 — —j- (9) ci a cos m 0

2 redukált alakja pedig valamely dj egésszel d

2 cos m 0

2 — (10) c

2 A (8)-ból di d

2 k Cl 2 dl) adódik. (11) mindkét oldalán redukált törtek állnak, ezért csak akkor állhat fenn egyenlőség, ha cí=c™ (12) s így 1° szükségességét igazoltuk. A k 0i = m 02 esetén természetesen sin k 0i = sin m 02 és cos k 0i = cos m02, ami ismert összefüggés szerint ekvivalens a 2°-ban szereplő két egyenlettel. így 2° szükségességét beláttuk. Vezessük be a következő jelöléseket: Mivel es es 0^ = 0,-0», és 0'W0

2-0% 0 < k0"i < 1 mert 0 < S'\ < 10 -'sM-i 0 < m0"> < 1 mert 0 < 0"

2 < 10~f

l m

l "1 k0i—m02 = 0, ezért |k0'i—m0'

2| = k(0i—0"i)— m (0

2—0"

2)| = (12) = |m@"2—k0"i| < 1 ami 3° szükségességét igazolja. Tehát a feltételek valóban szükségesek. Bizonyítjuk, hogy elégségesek is. Tegyük fel, hogy 1°, 2° és 3° feltételek teljesülnek. A 2° feltétel ekvivalens a sin k 0i = sin m 0

2 571