Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1982. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 16)

II. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBÖL - H. Molnár Sándor: Háromszögek szögeinek lineáris függetlenségéről

míg a ©'„az arcsin—-nek a [lg m] + 1-dik tizedesjegyig kiszámított közelítő C-2 tizedestörtje. 2. Tétel. Legyen f)\, illetve (")•> az (ai, bi, C|), illetve az (a2, b-2, ci) derékszögű háromszög egy-egy hegyesszöge, ahol az a\, b\, a>, b-i befogók egész számok, a C[, C), átfogók pedig valós számok. Ha van olyan p páratlan prímszám, mely a c

2

{ és c| pozitív egész számok közül pontosan az egyiknek osztója, akkor @i és 0

2 lineárisan függetlenek a racionális számtest felett. 3. Tétel. Legyen 0\ 4=90° és ©2 4= 90° az (ai, b|, C|), illetve az (a-2, b-2, C2) egészoldalú, nem feltétlen derékszögű háromszög egy-egy szöge. (Föltehetjük, hogy ©1 az ai-el, Q> pedig az a2-vel szemközti szög.) Legyen bf + cf - af s, 2- b

e =t aho

1 (sí, y = 1, (i = 1,2). Ha van olyan p páratlan prímszám, mely a t\ és U közül pontosan az egyiket osztja, akkor 0y és (")•> lineárisan függetlenek a racionális számtest felett. A tételek bizonyításához két segédtételre van szükségünk. 1. Lemma. Legyenek az (a, b, c) derékszögű háromszög a, b befogói egészek, c átfogója egy valós szám és (a, b) = 1. Jelölje 0 a háromszög egyik hegyesszögét. Legyen c

2 = 2

a-cj, q páratlan, a pedig nem negatív egész. Tetszőleges k =1= 0 egész szám esetén cos- k 0 racionális szám és redukált alakjának nevezője páratlan c

2 esetén c

2l

kl , páros c

2 esetén pedig • q

k alakú, ahol fi valamely |ak|-nél kisebb nem-negatív egész. 2. Lemma. Legyen az (a, b, c) egészoldalú, nem feltétlen derékszögű háromszög a-val szemközti 0 szöge nem derékszög, és legyen 1 2 „ 2 b + c — a s = (s, t) =1. 2 be t Legyen t = 2" • q ahol q páratlan, a pedig nem-negatív egész szám. Tetszőleges k 4= 0 egész szám estén cos k 0 racionális szám és redukált alakjának nevezője páratlan t esetén tl

kl, páros t esetén pedig = 2/^q

|

kl alakú, ahol /? valamely |k «|-nél kisebb nem-negatív egész. Rátérünk a bizonyításokra. Az 1. Lemma bizonyítása: Feltehetjük, hogy 0 az a oldallal szemközti szöget jelöli, ígv cos 0 — k c Legyen először k > 0. Ismert, hogy