Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1982. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 16)

II. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBÖL - Dr. Szepessy Bálint: Megjegyzések a valós függvények iterálásához II

MEGJEGYZÉSEK A VALÓS FÜGGVÉNYEK ITERALASAHOZ II. DR. SZEPESSY BÁLINT 1. Bevezetés Legyen f (x) az [a, b] (a < b) zárt intervallumban értelmezett olyan egyértékű valós függvény, amely eleget tesz a következő feltételeknek: 1. f (x) az adott szakasz minden belső pontjában folytonos; a kezdő és a végpontban jobbról, illetve balról folytonos; 2. f (x) az [a, b] intervallumot önmagára képezi le; 3. nincs olyan részintervalluma az adott szakasznak, amelyben f (x) = = constans teljesül. Az f (x) függvényt iterációs alapfüggvénynek nevezzük az adott intervallumon. Az f

0 (x) = x, f, (x) = f (x), f, (x) - (f (x) ),..., f

n (x) - f (f

n—i (x) ) . . . függvényeket az f (x) függvény 0-dik, első, második, . . ., n-edik (n-edrendű) . . . iterált függvényeinek (iteráltjainak) nevezzük. Ha f (c) = c, akkor c pontot az f (x) függvény elsőrendű fixpontjának nevezzük. Ha f

n (c) c, n = 1, 2,... . . ., r—1 esetén, de f

r (c) = c, akkor c az f (x) függvény r-edrendű fixpontja. Ekkor ci, C2, ,, , c

r_i, c

r pontok is páronként különböző r-edrendű fixpontok; a C|, c>, . . ., c,. fixpontok egy r-edrendű ciklust alkotnak. Már vizsgáltuk azt a kérdést, hogy milyen iterációs alapfüggvények esetén nem lehet a fixpontok (ciklusok) rendszámára felső korlátot adni ([9]). Bebizonyítottuk az alábbi tételt: Ha az [a, b] szakaszban f (x) az 1., 2., 3. feltételeknek eleget tesz, és van két olyan diszjunkt részszakasz, amelyeket a függvény az egész zárt [a, b] szakaszra képez le, akkor van bármilyen magasrendű ciklus (vagyis a fixpontok rendszáma felülről nem korlátos). Ennek a tételnek a feltételei csak elegendőek bármilyen adott rendű ciklus létezéséhez. Megmutattuk ugyanis, hogy: Ha f (x) az [a, b] szakaszban csak az 1., 2., 3. feltételeknek tesz eleget és az [a, d] szakaszt [d = sup x. f (x) — b] az egész [a, b] szakaszra [d, b]-t pedig a < x < b a [h, b] szakaszra képezi le, ahol h = Cj; C| = max (x), f (x) = c és c = sup x. XE [a, d] xe [d, b] f (x) = x; akkor a fixpontok rendszáma felülről nem korlátos ([9]). Az elmélet szempontjából érdekes (s mivel előbbi tételünk feltételei csak elégségesek, felvetődött) az a kérdés, hogy milyen iterációs alapfüggvények esetén lehet a fixpontok (ciklusok) rendszámára felső korlátot adni. Ebben a dolgozatban véges szakaszt önmagára leképező folytonos (azaz az 1., 2., 3. feltételeket kielégítő) alapfüggvény esetén azt a kérdést vizsgáljuk, hogy milyen feltételek mellett lehetnek csupán első vagy másodrendű fixpontok. 557