Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1982. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 16)
II. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBÖL - Dr. Kiss Péter: Közös elemek másodrendű rekurzív sorozatban
ezt az eredményt, megmutatta, hogy néhány kivételtől eltekintve a négyes konstans hárommal helyettesíthető. Hasonló probléma a következző. Legyen G = G (A, B, G, 0., G|) és H = H (A, B, H n, Hi) két másodrendű lineáris rekurzív sorozat, melyeket ugyanazok az A, B konstansok definiálják. A két sorozat közül elemeinek halmaza véges-e vagy végtelen? Ha G és H ekvivalens sorozatok (vagyis ha G n + r =H n+ s minden n 0 egész esetén valamely rögzített r és s természetes számok mellett) akkor nyilván végtelen sok közös elem létezik, ezért csak azzal az esettel érdemes foglalkozni, amikor G és H nem ekvivalensek. Ebben az esetben, a sorozatok tagjainak explicit alakja alapján, G. Revuz [8] egy általános tétele ad választ a kérdésre; bebizonyította, hogy ha űj (1 á L á M), bj (1 % j á N), S és cp algebrai szárnak, f) és cp lineárisan függetlenek az egész számok felett, akkor a M . m, N n, z = zy t-i j=i 1 egyenletnek csak véges sok m v ríj racionális egész megoldása van, eltekintve attól az esettől, mikor mindkét oldal zérus. Ebből pedig következik, hogy a G x = H y egyenlet (x, y) megoldásainak száma is véges, vagyis valamely m 0 konstans esetén G x H y, hax> m, 0. Hasonló eredményt bizonyított M. Mignotte [7]. ö a tételét tetszőleges rendű lineáris rekurzív sorozatokra mondta ki. állítása a mi esetünkre leszűkítve a következőt mondja ki: Ha D > 0 és nem egységgyök, akkor létezik egy effektív meghatározható m 0 konstans úgy, hogy G x 4= H y ha x, y > m 0. F. Mátyás [6] különböző A, B konstansokkal generált másodrendű sorozatok esetéén ezeket a konstansokat explicit alakban is megadta, azonban ezek nagyságrendje jelenleg még számítógéppel sem érhető el. Az A = —B = 1 esetre (általános Fibonacci sorozatokra) M. D.. Hirsch [2] konkrétabb eredményt bizonyított: Ha G (1,—l,Gr>, Gi) és H (1,—1,H 0, Hí) nem ekvivalens sorozatok, akkor a G és a H sorozatoknak nincs c(j/5~_ 1) -nél nagyobb abszolút értékű közös elemük, ahol c = maxOGiGg — G|| ,\H ÍH 2 — H\\) A következőkben általánosítjuk M. D. Hirsch eredményét a D = A 2 —4 B > 0 feltételnek eleget tevő általános másodrendű sorozatokra, és egyben javítjuk Revuz és Mignotte eredményeinek másodrendű sorozatokra vonatkozó állítását, megadva az m n konstans explicit értékét. Vezessük be a következő jelöléseket. Legyenek A és B rögzített nem zérus egészek, G =G (A, B, G 0, G () és H = H (A, B, H 0, H }) két másodrendű lineáris rekurzív sorozat, melyekre D = A 2—4 B > 0, és G 0, Gi, illetve H 0, H t nem mindkettője zérus. Legyen G és H tagjainak explicit előállítása _a<x n-b/9 n és pcL n—qfi n 1 1 „= Q a — p 540
