Állami főreáliskola, Debrecen, 1881

III. ~ „_, n(n—l)(n-2)_ , , és Sin nx = n Cos" 'xSinx — \~Y~3 x Sin

3 x-f n (n—l)(n—2)(n—-3) (n 4) x_ 1.2.3.4.5 Ezen sorokat, melyek a Cosinusnak folyton kisebbedő, a Sinusnak pedig folyton nagyobbodó hatványai szerint lépnek fel, átalakítjuk olyan sorokká, melyek pusztán a Sinus hatványait tartalmazzák. Legyen erre nézve: Cos x = (l-Sin'-x)* és Sin x<c 1, akkor a binomiális törvény szerint: Cos

r x= (1—Sin

2x)" = 1 - Sin

2 x + f- ^ 4 j Sin

4x —.... Tegyünk most egymásután r = n, n—1, n—2 stb. értékeket és helyettesítsük az igy nyert sorokat a fentebbi egyenletekbe, akkor nyerjük : n

2 " n

2(n

2—2

2) n

2(n

2-2

2) (n

2-4

2) fi Cos nx = 1 — y-^ Sin

2x+ 1 2 3 4 Sin

4x — 1 2 3 4 5.6 ® x n (n

2— l

2) n (n

2—l

2) (n

2—3

2) Sin nx = n Sin x — —J~2~3— x 1 2 3 4 5 Sin

5x—... oszszuk most ezen két egyenletet n-el, akkor nyerjük : nx n

2— 1

2 (n

2—l

2) (n

2-3

2) Sin —= Sin x— j 2 3 Sin

3x + —j ^ 3.4 5 Sin

JxTegyük fel, hogy ezen egyenletben 11 végtelen kicsiny, akkor: Sin nx 1 , , 1.3® li

m n — Sinx + i"72T3T X 1.2. ö .4.5

. Sin

5x+... Legyen nx= a, ahol a n-el együtt végtelen kicsiny, akkor : Sinnx Sin a Sin a lim —-— = lim x —~— = x lim —~— = x 11 R W 1 1.3 és igy: x Sin x + yjj Sin

3 x -+- 245 Sin

5x + ... vagy ha Sin x = z tebát x — arc Sin z, akkor : 1 z

3 1.3 z

5 1.3.5. z

7 arc Sinz = z + -y ~gT-f- 2A b + 2.4.6.7 Tudjuk továbbá, hogy arc Sin z + arc Cos z = —

1 ezt tekintetbe véve : A „ x 1. z

3 , 1.3. z

5 arcCosz = TZ- —+ A Sinus x és Cos x sorba fejtésénél ismeretes képlet: r

o„ v - Cos D

XÍ 1 - " tn-l

Va x • n(n — 1)(n—2)(n — 3) Cos x Cos — ^ j-^-tg ,.

2.3.

4 tg n • n

x/„+„ x 1 n (

n—1) (n — 2) i 3 x Sinx = Cos — I n tg — + ^ tg

3 - + ...