Állami főreáliskola, Debrecen, 1880

13 u

(

) +u, x + u, x

2 + u

3 x

34-. . .. u

n x

n -H u

D

+i x

n+

1+ Az ilyen sorok h a t v á n y s o r o k n a k neveztetnek. Ezen hatványsorokban a sor értéke — x változó mennyiség meghatározásától függvén, — ugy tekinthető, mint az x függvénye, x pedig mint a sor v á 11 o z ó j a. Ha ezen sorokat vizsgálni akarjuk, természetesen keresni kell azon értékét x-nek, mely mellett egy ilyen sor összetartó lesz. Hogy a sor x-nek valamely értékénél összetartó legyen, szüksé ges, hogy — egy fentebbi tétel alapján — valamely tag osztva az előtte levővel, a hányados oly határértékhez közeledjék, mely kisebb az egységnél, azaz: Nm+1 X" ' Un+1 ^ , hm. a— = hm x „ 1 u„ x

u u" ha már most lim. ^' Q, akkor x-re nézve leend a feltétel i x < -q És igy egy ilyen hatványsor összetartó x-nek mindazon értekeinél, melyek kisebbek, mint q , azaz melyek — q és + határok között feküsznek. Minden más értékénél x-nek, a sor széttartó. Például legyen adva: x + 4 xM- i x4- ; x'+ l x"'+... x"4- x"

+

1 + .. Ezen sor összetartásának feltételeit a fentebbi mód szerint megállapítva leend: lim = lim x n x" legyen: lim (

uw)

u -L; 1 tehát a sor összetartó lesz x-nek mind azon értékeire nézve, melyek — 1 és-l-l között feküsznek. A mi nagyon is természetes, ha meggondoljuk, hogy a sor maradéka csak ez esetben enyészhetik el. A függvények sorba fejtése. Legyen adva egy hatványsor Uy-Hi, x + u, x

2 + Uj x' +. . . u„x"-K . . mely sor mint fentebb láttuk, x-nek minden értékére nézve + Q és — Q határok között összetartó.