II. kerületi állami főreáliskola, Budapest, 1913
Dr. Kresznerics Károly: Az egész számok elmélete
32 Ha tehát n = P\l P*2 • • • Pr<*'r, akkor minden osztója b=p^ph...p?r alakú, ahol ßi = 0,\,2,...ccx ßä = 0,1,2,... a2 ßr = 0, 1,2 Helyettesítsük be az osztó törzstényezős felbontásának általános alakjába ßx helyébe a táblázat első sorában foglalt értékeket, akkor (ocj —j— 1) kifejezést nyerünk. Ezen kifejezések mindegyikébe helyébe behelyettesítjük a táblázat második sorában álló értékeket, akkor minden előbbi kifejezésből kapunk (cc2 —j— 1) újat, vagyis összesen -f- 1) H— 1) kifejezést. Ezt a gondolatmenetet folytatván, nyilvánvaló, hogy a osztóinak száma S (a) — («i + 1) (a2 -j- 1) • • • (a,, -j- 1) — ff (a/ 1 )• Tehát az osztók számát meghatározhatjuk anélkül, hogy az osztókat kiszámítanók. Az osztók száma független a törzstényezők értékétől, csak számosságuktól (a kitevőktől) függ. Példa. Határozzuk meg 420 osztóit törzstényezős felbontással. 420 = 22.3.5.7 A törzstényezőket a legnagyobbtól kezdve egymás alá írjuk: 7 ' 35 21, 15, 105 14, 10, 70, 6, 42, 30, 210 4, 28, 20, 140, 12, 84, 60, 420. Ha két vagy több törzstényező egyenlő, akkor a másodikkal még az előbbit is, de a többiekkel már csak az előtte álló törzstényezőtől jobbra eső számokat szorozzuk meg. Tehát 420 osztói: 1, 7, 5, 35, 3, 21, 15, 105, 2, 14, 10, 70, 6, 42, 30, 210, 4, 28, 20, 140, 12, 84, 60, 420. Az osztók száma : 5 (420) = (2 -{- 1) (1 -j- 1) (1 1) (1 -j- 1) = 24. Az osztók száma S(a) csak akkor lehet páratlan, ha tényezői mind páratlanok, de akkor az a-knak mind páros számoknak kell lenniük: x^. — 2 yv &o — 2 y2> • • • — 2 p-
