Békés Megyei Népújság, 1987. május (42. évfolyam, 102-126. szám)
1987-05-13 / 111. szám
1987. május 13., szerda NÉPÚJSÁG Neked hogy sikerült...? Matematika írásbeli A középiskolák nagy részében tegnap tartották az írásbeli érettségit matematikából. Ígéretünknek megfelelően közöljük a tételeket, a megoldásokat és az eredményeket. Gimnáziumi tételek i. feladat: 3228* háromszög csúcspontjainak koordinátáit A(-4#l)» B(2j3), C(Oj5). írja fel az A csúcsból induló súlyvonal egyenletéti Megoldás: A keresett súlyvonal az A csúcsot köti össze a BG oldal felezőpontjával. A BC oldal felezőpontja: F(l|4)* 2 pont Az AF vektor koordinátái: (5;2), a súlyvonal egyenes egy normálvektora tehát (3|-5)« 3 pont A súlyvonal egyenlete: 3(x-l)-5(y-4) - 0, azaz 3x - 5y ♦ 17 • 0* 3 Pon* összesen: 8 pont 2. feladat: 1327* Három testvér Összesen 300000 ft-ot örökölt. A annyit kapott, mint B és C együttvéve, B pedig annyival kapott kevesebbet A-nál, mint amennyivel többet C-nél. Hány forintot örökölt mindegyik? Megoldás: Ha B örökölt b forintot, C pedig c-t, akkor a feltétel szerint A öröksége b+c forint. A másik két feltételt a következő két egyenlettel írhatjuk le: (1) b+o+b+o- 300000, (2) b-fo-b-b-o. 3 pont A (2) egyenletből b - 2o. 2 pont Bzt (l)-be helyettesítve o - 50000. 2 pont A testvérek öröksége tehát: A-ó 150000 Bt, 1 pont B-é 100000 ?t, 1 pont C-é 50000 ft. 1 pont A kapott értékek kielégítik a feladat feltételeit. 1 pont Összesen:11 pont 3. feladat; 1511* Mely valós x értékekre teljesül a következő egyenlőtlenség? l. <0. 2 x -12x+2o A számláló és a nevező is másodfokú polinom. A számláló gyökei 1 és 7» 2 pont a nevező gyökei 2 és 10. 2 pont Mivel uindkót polinom másodfokú tagjának együtthatója pozitív, ezért a számláló x <1 esetén pozitív, 1< i<7 esetén negatív, 7 <£ x esetén pozitív. 3 pont A nevező x 2 esetén pozitív, 2 < x ^TIO esetén negatív, 10 x esetén pozitív. 3 pont Az előzők alapján a hányados akkor negatív, ha a számláló és nevező ellenkező előjelű: 12x2 2, 3 pont vagy 7 x 10. 2 pont Összesen: 13 pont Megoldás: A számláló és a nevező gyökeinek meghatározásáért. 2-2 pont A számláló és nevező szorzat előállítását felhasználva: (x-l)(x-7) Q (x-2)(x-10) 2 pont A hányados pontosan akkor negatív, ha a négy tényező szorzata negatív: (x-1) (x-2) (x-7) (x-10) <0. 3 pont A négy tényező szorzata pontosan akkor negatív, ha páratlan sok tényező negatív, tehát vagy 12x22, 3 pont ▼agy 7 < x 2110. 3 pont Összesen: 15 pont 4. feladat:2415. Két, egymást kívülről érintő gömb sugara 5 cm és 8 cm; egy kúp mindkét gömböt érinti. Mekkora a kúp palástjának az a része, etaely a két érintési kör síkja között van? Vizsgáljuk & két gömb és az érintőkúp egy olyan síkkal való metszetét, amely áthalad a gömbök 0^ és 02 középpontján. A kúp síkmetszeteként adódó alkotók a két kör közös érintői. A keresett palástrész egy osonkakúp palástjának felszíne, ennek adatait kell először kiszámítanunk. 2 pont A csonkakúp alkotója: o * ■ O^P» ennek hossza pedig az 0jP02 derékszögű háromszögből, mivel 0^02 ■ 13» Az O^POg háromszög hasonló az JS^Q^O^ háromszöghöz és az £2^2°2 Háromszöghöz is, hiszen a megfelelő szögeik megegyeznek. 4 pont Bzek alapján r ■ » 2 POflt B . . 2 pont A csonkakúp palást felszíne: (rfH)*oT» 160£”(-502,7) om2. 2 pont összesen: 16 pont 5. feladat: 2914« Melyek azok a valós ezámek, melyekre igaz az alábbi egyenlőség? lg sin x - 0. Megoldás: A logaritmus definíciója alapján azdlott egyen- \ lőség akkor és csak akkor igaz, ha sin x - 1. 3 pont Az utóbbi egyenlőséget az x - £ ♦ 2k 7T, ke2 3 pont valós számok elégítik ki. A kapott gyökök az eredeti egyenlőséget is kielégítik. 2 pent összesen: 8 pont 6. foJadat: 3478. Melyik számtani sorozat az alábbiak közül? tan) - (5n-2)» (»>„) “ (£ - 3)l Un) - (2«2)J Un) - >4 (•„> ■ CS), (fa) - (»ln nTT). Megoldás: (afl) számtani sorozat, mert a sorosat bármely két szomszédos tagjának különbsége 5« 1 pont (bQ) nem számtani sorozat, mert például a második és az első tag különbsége nem egyenlő a harmadik és második tag különbségével. 2 pont (efl) nem számtani sorozat, mert például a második és az első tag különbsége nem egyenlő a harmadik és a második tag különbségével. 2 pont (dn) számtani sorozat, mert - n-3 és bármely két szomszédos tag különbsége 1. 2 pont (e ) számtani sorozat, a különbsége 0. 1 pont n (ín) számtani sorozat, mert sin n?T -0 minden pozitív egész n-re és a sorozat különbsége 0. 2 pont összesen: 10 pont 7. feladat: 42. Bizonyítsa be, hogy az n oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege (n-2).180°, átlóinak száma pedig I Az első bizonyítást az elsőosztályos tankönyv 2^9. oldalán találhatják meg a tanulók, A második bizonyítás gondolatmenete a következő: Egy osúosból n-3 átlő húzható, mert nem húzható átló a szomszédos osúosokba és saját magába, összesen n osúca van, Így n/n-3/ átlót húzhatunk, így minden átlót kétszer vettünk figyelembe, mert minden átló két osúosot köt össze. Ezért az átlók száma: °/a-3/ 2 Helyes bizonyításért 12 pontot kell adni! Szakközépiskolás tételek 1. (1192) Melyik az a szám, amelynek a harmadát és a negyedét összeszorozva, a szám négyszeresét kapjuk? Legyen a szám x. Tehát- 4x » 0, a bal oldalt szorzattá alakítva: x (}~ - 4 ) - 0. Äz akkor és osak akkor 0, ha 1. x - 0, vagy 2. ^2 - 4 ■ 0. Tehát x - 48. A feladatot mindkét kapott szám kielégíti, tehát két ilyen szám van: 0 és 48. 3 pont 2 pont 2 pont 1 pont összesen: 8 pont 2. (1853) Két azonos középpontú kör sugara 6 cm, illetve 8 cm. Milyen távolságra van a középponttól az a szelő, amelynek a két kör közé eső darabjai 4-4 cm hosszúságúak? Legyen & a szelő felezőpontja! OH egyenes merőleges a szelőre. Legyen OH - ti Jl y , Az 0R3 derékszögű háromszögből I.t2 - 36 - x2. Az ORP derékszögű háromszögből: IX.t2 - 64 - (x+4)? Az I. és II. egyenletekből álló egyenletrendszert megoldva azt kapjuk, hogy X- 2 * OjP -\ll32 - 3^ • *f!o. t - V33,75 as 5.8 Co«). (Mivel t szakasz hossza, ezért csak pozitív szám lehet.) A kívánt tulajdonságú szelő a középponttól 5,8 cm távolságra van. 3 pont 3 pont 4 pont-2 pont 3* (2017) Mekkora szöget zárnak be egymással a 7« ábrán látható téglatest B-ből és C-ből induló testátlói? Q Megoldás: A testátlók & téglatest 0 középpontjában felesve metszik egymást. __7"*-^ X «■«. feladatunk tehát a BOG egyenlő szárú háromszög A e a 0 csúcsnál levő szögének meghatározása. Tekintsük a CBJSH négyszöget! CB merőleges BB-re, mert a BAH? lapra merőleges, tehát a B ponton átmenő BÄ egyenesre is* Hasonlóan: BCXCH, EH IB£, fii ICH. így CBEH téglalap, ezért BOC háromszög valóban egyenlő szárú. BE a téglatest BAB* lapjának átlója. Hosszát Pithagorass -tétellel határozhatjuk meg. Az AEB derékszögű háromszögből SS2 - V 0,82 + 1.82 - \j 3,88 , ŐQ » i 5 pont 8* ♦ 1,8* 2 Bí - | \J 3,88. 2 pont 2 pont OBQ derékszögű háromszögből tg 2. -2x82 0,5^3,88 «0,8123- tí 39,09° C39°5’) , 2 ’ «< a 78,18° (78°10* ) . 5 pont összesen:14 pont 1 pont 1 pont 4. (3027) Mely valós számokra igaz, hogy (l - tg x)(l + sin 2x) = 1 + tg x ? Megoldás: A megoldást adó x értékekre tg x * és x/ ^ + ahol k€.Z. /cos x/ 0/. sin 2x = 2.sin x.cos x . A helyettesítéseket elvégezve: (l -fli-tXl* Beinx.ooex). 1 + fif-f . Ebből azonos átalakításokkal és cos x/ 0-val való szorzással a következő egyenlet adódik: 2sin x (-1+ cos2x - sinxcosx) = 0 • 2 pont Egy szorzat akkor éá csak akkor 0, ha legalább az egyik tényezője 0, tehát sin x = 0, vagy /!/ J 2 pont-1 + cos2x - sinxcosx =0. J 2 2 Ez utóbbiban végezzük el a cos x = 1 - sin x helyettesítést, amiből-sin x (sin x + cos x) = 0- adódik . I pont Vagyis sinx = 0, vagy .sin x + cos x = 0 , vagyis tg x « -1 . /2/ 2 pont /l/ egyenletből x^= n.3T , n € Z 3 pont /2/ egyenletből x2= + m.TT , m e Z 3 pont A kapott gyökök az eredeti egyenletet valóban kielégítik. 1 pont összesen: 16 pont Ha a jelölt x^- 0 és x2= ^ megoldásokat adja meg, akk^r ezekre caak 1-1 pontot kaphat. 5. (30) Milyen négyszöget nevez húrnégyszögnek, illetve érintőnégyszögnek? A definíciók a másodikos tankönyv 91. és az elsős tankönyv 2ó2, oldalán találhatók, A helyes definíciókért 4-4 pont, összegen 8 pont jár. 6. (3555) Van-e olyan mértani sorozat, amelyben a/ a hetedik*tag negatív és a huszadiktag 0} b/ a hetedik tag is és a huszadik tag Is negatív! c/ az első tag negatív, a hetedik tag pozitív! d/ az első tag negatív, a hetedik tag 0! e/ az első tag pozitív, a huszadik tag negatív? A válaszokat indokolja! Megoldás: a/ a~ 2o" V „13 0 akkor és osak akkor 0, ha a7 - 0 vagy q - 0. a? a feltétel ezerint nem lehet 0, ha pedig a sorozat hányadosa 0 lenne, akkor is 0 lenne. Tehát a feltétel nem teljesíthető. b/ A hetedik tag és a huszadik tag is negatív lehet, mert a2o " ^ negatív, ha a^ negatív, q pedig pozitív szám. c/ - a^.q^> 0 csak akkor lehetséges, ha a1 is pozitív mert q6 nem lehet negatív szám. Tehát a feltétel nem teljesíthető, d/ Ha q-0, akkor teljesíthető.a feltétel. •/ Ha q negatív szám, akkor teljesül a feltétel. 2 pont 2 pont 2 pont 2 pont 2 pont összesen: 10 pont iLS..^e^yz^3:., Az indoklás nélküli helyes válaszokért 1-1 pontot adjunk. 7* (93) Bizonyítsa be, hogy a 0(u!v) középpontú, r sugarú kör egyenlete (x-u)2+(y-v)2 - r2l A bizonyítás a harmadikos tankönyv 87, oldalán található, A helyes bizonyításért 12 pont jár. Hiányos indoklás esetén a pontszámot arányosan csökkentsük! Értékelés 4 pont Összesen: 12 pont Mindkét iskolatípusban 18 pont szükséges az elégségeshez. Annak, aki elérte a 60 pontot, jeles jár. A közbülső osztályzatok a kialakult tanári gyakorlat alapján állapíthatók meg. Az itt közölt megoldásoktól eltérő helyes megoldásra természetesen teljes pontszám jár.
