Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1881
Jegyzet. Eddigelé feltettük, hogy a modul pojitiv egész szám, nincs azonban kizárva a negatív modul sem, mint pl. a=b (mod. —k), melynek jelentése ugyanaz marad, t. i. a—b különbség osztható fc-val; s ennek folytán könnyű belátni, hogy a felállított tételek ez esetre is érvényben maradnak. 3. §. Az incongruens számok. Ha k a modul, s a következő: 0, 1, 2, 3 ... . (k—1) 1) sort alkotjuk, bármely számot vegyünk föl, ez /fc-val osztva az 1) sor valamely tagját adja maradékul; vagyis egygyel (mod. k)-ra congruens lesz. Hogy csakis egygj^el lehet a tetszőlegesen fölvett szám (mod. k) mellett congruens, könnyű belátni, mert különben 1) sorból legalább két számnak congruensnek kellene lenni (mod. k)-ra, mi azonban ellenkezik. Ha a számokat a szerint sorozzuk osztályokba, a mint azok az 1) alatti sor valamely tagjával congruensek, nyilván az összes számokat k számú osztályba soroztuk ; s ha ez osztályok mindegyikéből egy tetszőleges számot kiveszünk, k tagból álló sort kapunk, melyek (mod. k) mellett az 1) sor valamelyik tagjával conrguensek, egymás közt azonban incongruensek. A számok ily sorát az incongruens számok teljes rendszerének vagy teljes maradék sornak mondjuk. így pl. (mod. 5)-re s ennek többesei 10, 15, 20 stb. a 0-osztályba; 6, 11, 16, 21 stb. az l-es ; 7, 12, 17, 22 stb. a 2-ös; 8, 13, 18, 23 stb. a 3-as; 9, 14, 19 stb. a 4-es osztályba jutnak; 5, 11, 17, 28, 39 (mod. 5) mellett egj'más közt incongruensek, de megfelelőleg congruensek a 0, 1, 2, 3, 4-el. Ezek nyomán az egyes osztályokba jutott számok együttesen ugy szerepelhetnek, mint egyetlen egy szám, természetesen ugyanazon modul mellett; más modulra az osztályozás is más lesz. Tehát annyiféle osztályozás, a hányféle modul lehetséges. 2) Az incongruens számok osztályozása még tovább is folytatható azon közös osztó szerint, mely valamely osztály tagjai s a modul közt található. Ha a=b (mod. k) tehát a—b+vik, akkor a és /c-nak közös osztója, osztója lesz b- és /c-nak is. E legnagyobb közös osztó szerint az egyes osztályokat ismét külön-külön csoportosíthatjuk. S mivel az 1, 2, 3 .... k sor tagjai taljes maradéksort képeznek s ha k—n$, akkor a számok oszthatóságának elmélete szerint <p (n) számú oly osztály van, melyek tagjai k modullal vallják legnagyobb közös osztójuknak: s © (k) számú oly osztály van, melyekben a modulhoz viszonylagos törzsszámok lesznek. így pl. mivel <p (5) =4, a föntebbi példában a 6, 7, 8, 9-el kezdődő osztályok az 5-höz viszonylagos törzsszámokat állítják elénk. Ha pedig 6 lesz a modul, a számokat következőleg osztályozhatjuk:
