Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1881

— 80 congruens. Ez által 2

X számú számot kapunk, melyek a 2

n kitevőhöz tartoznak. Ez állitásunk azonban *=0, 1 esetekben érvénytelen. Azonban ha /.=0, azon egyetlen szám, mely az 1 kitevőhöz tartozik 1, s ha *=1, három számunk lesz t. i. — 1, 2

n~

1 + l, 2" x—1. Tehát congruentiánk összes gyökeinek száma: 1+3 + 22 + 23+ + 2x=l +(1+2 + 22 + 23+ + 2X); össze2>-+i i gezve = 1+—-—— =2*

+ a gyökök száma. L* I Legyenek a lehetséges gyökök : 1, hi, h

2, h

3 ... . —1 sorban, akkor az általános a:

N=p (mod. 2

n) congruentia gyökei, ha ezek egyike pl. x=H (mod. 2

n) mindanyian a 2

X+! tagu H, Hhi, Hh

2, Hh

3 .... —H sorban lesznek. Eredményeink tehát következők: «) Ha az Né s <p(2

n)=2

n~

1 legnagyobb közös osztója 2

X akkor a?

N=r (mod. 2

n) congruentiánk azonos N \ oc t* x*k

= (mod. 2") x P J congruentiák rendszerével P) A z a;

2

)=p (mod. 2") c o n g r u e n t i á n a k, ha lehetséges, 2 ^

1 gyöke lesz, melyeket nyerünk, ha azok egyikét, az x

2'=l (mod. 2") congruentia 2

X+

1 számú gyökeivel szorozzuk. Legyen pl. se

2

0=17 (mod 32) mi átírható (a;

4)

5=17 (mod. 2

5) alakra; oldjuk meg az 52=1 (mod. 2) és £c

4=17

z (mod. 32) congruentiákat, miáltal cc

4=17 (mod. 32)-re vezettük vissza, mert 2=1; ama congruentia egyik gyöke cc=3, mit, ha a ;

4=l (mod. 32)-nek +1+7+15+23 gyökeivel szorzunk ÍC=+3+21+13+5 vagy tisztán positiv értékekkel ÍC=3, 5, 11, 13, 19, 21, 27, 29 állnak elé mint gyökök. A congruentia ezen megoldási módja legalább egy gyököt kísérletezéssel határoz meg s korán sem helyezi kilátásba a kísérlet biztosságát. E czélra előnynyel követhető a következő: Ha (mod. 2") congruentia lehetséges, kell, hogy ?(g) „X p J =p»—X—2=1 (mod. 2" ) is érvényre emelkedjék, tehát 2^ hatvány maradékai csak oly számok lehetnek, melyek az utóbbi congruentiának hódolnak; nem következik azonban viszont, hogy minden ily szám a 2* hatvány maradéka lesz, hanem a 2

n~'

1 megoldásból fele maradók lesz, másik fele pedig nem lesz maradék.