Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1881
— 71 Azt kell még beigazolnunk, hogy nem létezik p m Q'-nél kisebb hatvány, mely az 1-el congruens. Ha -/.volna a p mQ l-hez tartozó kitevő, lenne ( 2,mQ <jx =pmXQ 4_ 1 ( mQ(li kn) ^^ miyel p & <p(fcn). he z tartOZlk, m x, t öbbese a <p(fc n)=QQi-nek, azaz: m/v osztható Q-val, mi azonban, mivel a Q tényezője, és Q és m viszonylagos törzsszámok, csak ugy lehetséges, ha *=Q; tehát p mQ l hatvány a Q kitevőhöz tartozik. Allitásunk második részének beigazolására figyelembe kell vennünk, hogy p mQ l minden ily hatványa incongruens, mert a p-nek <p(íc n)—1 első hatványaival congruensek, ezek pedig egymást közt incongruensek • továbbá minden szám, mely Q-hoz tartozik, okvetlen p m Q' alakú hatvány. Mert Lap^ hatványa Q-hoz tartoznék,a nélkül azonban,hogy a <p(k n) ós [j. közös osztója a Qj lenne, akkor u. nem lenne a Q, többese. Ennek pedig be kell következni, mert ha (p'^) Q=p ; j" Qssl (mod. /c") congruentia érvényes, akkor ;i.Q többese a <p(A n)=^^,-nek, mi csak ugy lehet, ha (/• többese a Qt-nek. Tehát a Q-hoz csak annyi szám tartozhatik, a hány m<Q viszonylagos törzsszám van. 25. §. Az x"=a congruentia elmélete, ha a modul valamely törzsszám hatványának kétszerese. K~2 tehát <p{K)=k a1 (k—1). Mindazon páratlan szám, mely a Q=qlt' kitevőhö z tartozik (mod. k n) melett, ugyanazon kitevőhöz tartozik (mod. 2 k n)-r e is;s mindazon páros számok, melyek (m o d. k") mellett a Q=qk\ kitevőhöz tartoznak, a & n-e 1 nagyobbítva vagykisebbitve ugyanazon kitevőhöz tarto znak, de (m od. 2 & n)-re. Legyen először is x valamely páratlan szám, akkor a? Q=l (mod. A") ós x Q=l (mod. 2) s mivel 2 és 7c n viszonylagos törzsszámok, e két congruentiából: x Q=l (mod. 2 k n); ha tehát x Q a legkisebb hatvány, mely congruens az 1-el, akkor x a Q kitevőhöz tartozik a (mod. 2 k n) mellett is. Ha pl. nem Q hanem •/- volna a legkisebb hatványkitevö, melyre x'=\ (mod. 2 k n) állna, tehát *<<?, következnék, hogy afel (mod. lc a) azaz: léteznék cc-nek x'~ hatványában kisebb hatványa mint a legkisebb mely (mod. k n) mellett az 1-el congruens lenne, mi természetes nem lehetséges. Ha x páros, nyilván x±k n=x (mod. k n) tehát (arf & n) a Q kitevőhö^: tartozik, akkor (cc±Án) Qe=l (mod. k n) és mivel x±k a páratlan szám, (x±k n)^=l (mod. 2) e kettő szorzásából (^±^=1 (mod. 2 A;"); s épen úgy mint előbb beigazolhatjuk, hogy (x±k n)-uek az 1-el congruens legkisebb hatványa az (x + k n) (\ tehát (mod. 2 /c n)-re x±k n a Q kitevőhöz tartozik.
