Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1881

— 29 — k-i a J k—1 hatványra emelése által g ° =h

A (mod. 4); de föntebb g a =b

x (mod. 4), tehát /?,=/}«* ' (mod. k) az összefüggés h

t és h közt. Ez utolsó congruentia A,=fc»

a~

p+p 1=A»

p-«

a

!1-P=(7

l«P)

a

a1p (mod. 4) alakban is irható. Igen, de utóbbi föltevésünk szerint a legkisebb kitevő volna, melyhez h tartozik, tehát h

a

P=l (mod. k), minek folytán /i,sl (mod. k) következnék melylyel ellenmondásba keveredünk az első beigazolt fölvevéssel, mely szerint /i, az egységtől különböző szám, tehát e második feltevés meg nem állhat; következik, hogy S nem, hanem igen, a*=q azon legkisebb kitevő, melyhez h tartozik. c) Legyen a q kitevő a (k — 1) törzstényezőiböl tetszőlegesen alakított szorzat, pl. q=a

ab$ct. . . Ily esetben keressük föl azon A, B, C számokat, melyek az a

a, b

[\ c\ kitevőkhöz tartoznak, mi a megelőzők után lehetséges, mert a, b, c viszonyl agos törzsszámok. Nyilvánvaló, hogy A**=\, B

b

?= 1, C

e

T=l, . . .(mod.4) congruentiák érvényre lépnek s ha megfelelöleg a ~t ~ hatványra emeljük, lesz: At= 1, ifel, C«=2=l . . , s szorzásukból: (ABC')'

1=1 (mod. k) előáll a q kitevőhöz tartozó keresett szám. Csak azt kell még beigazolnunk, hogy ez a legkisebb kitevő. Ha q~>d, akkar {ABC. . .)

d=l (mod. 4) kellene lenni, tehát minden d-nél kisebb hatványnak incongruensnek kell lenni az 1-el, s q többese a d-nek. Azonban ezen d számot mindig szorozhatjuk oly \ számmal, hogy a d\ szorzatban az a, 6, c törzsszámok ugyanazon kitevőkkel forduljanak elő, mint a q—a b^c' . . ., számban, kivéve egy törzsszámot pl. a-nak x, kitevőjét, mely kisebb a-nál, tehát • • • 3 Y Mármost a B

b'=l , C

c'=l . .. (mod. 4) congruentiák alkalmas hatványozásával mindig előállíthatók C'Hssl, .. . (mod. 4) congruentiák, s ezek szorzatából {BC. . .)

d*=l . . . (mod. 4) . . . 1). Mivel feltétünk szerint {ABC.. .)

d=l (mod. k), kell, hogy {ABC . . . )

dW (mod. 4) ... 2) legyen. Ha 2) osztatik l)-el, következik, hogy A^= 1 (mod. k) vagy behozva dí értékét : A

í

l*

b

l'

c'=l (mod.4).Mivel A az a

a kitevőhöz tartozik, szükséges, hogy a

K tényezője legyen az a 8 y . i a 'b c - nak, mi, mivel a, b, c . . . viszonylagos törzsszámok, csak ugy lehetséges, ha a* tényezője az a

ai-nak ; ez pedig nyilt ellenmondás, mert