Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1881

sunk tárgyává, pl. ma és (k - m)a ; tegyük föl ma legkisebb maradéka [j., akkor ma=su. (mod. k) s ha e congruentiát az ai=0 (mod. fc)-ból le-t vonjuk, nyilván {b—m)a=—[i. (mod. k) áll elé, melyben a tételt bizonyitó érv rejlik. 6. §. Az első fokú congruentia megoldása. Az első fokú congruentia megoldásánál két kérdés merülhet föl, u. m. a) lehetséges-e azt minden körülmények közt egész számú értékekkel megoldani; s La igen, b) mint eszközölhető a megoldás. a) Ha a és k viszonylagos törzsszámok, akkor mindig lehetséges x számára oly egész számú értéket találni, melylyel ax=+c (mod. le) fönnállhat. Mert az a, 2a, 3a, 4a .... (k 2)a, (/c - 1 )a többesekből, mindazon maradékok előállnak, melyek a k modullal való osztásnál csak előállhatnak, ha talán más sorrendben is, de minden esetre az 1 és k—1 közt fekvő számok lesznek a maradékok. E többesek közt tehát mindenesetre lesz egy, mely +c számot ad maradékul; legyen e többes ma, akkor ma=+c (mod. k), miből az x oly egész számú értékének létezése, mely a congruentiának eleget tesz, m-beii világos. Ha pedig egy ily érték ismeretes, általa végtelen sok oly szám ismeretes lesz, mely hasonlókép megfelel a congruentiának, t. i. x oly értékei, melyek a talált számokkal (mod. k) mellett congruensek, miáltal végre x^m (mod. k) congruentiára akadunk, mely az adottal teljesen egyenértékű. Tehát csak azt kell már most beigazolnunk, hogy x mindazon értékei, melyek az x=m (mod. /í)-nak megfelelnek az adott congruentiának is meg fognak felelni; már pe:"igha a-val szorzunk, lesz : ax=ma (mod. k), tehát x minden megfelelő értéke ax-et congruenssé teszi am-el, de am=+c (mod. k) tehát ax=+c (mod. k), azaz : az adott congruentiának is megfelel. Be kell még igazolnunk azonban azt is, hogy az ax=+c (mod. k) congruentiának semmi olyanféle szám meg nem felelhet, mely egyszersmind az x=m (mod. &)-nak meg nem felelne. Legyen pl. x oly szám, mely az adott congruentiának megfelel, tehát ax'=+c (mod. k), akkor az a;«=+c (mod. /c)-val összehasonlítva ax'^am (mod. k) vagy x'=m (mod. k) következik, mi ép azon congruentia, melyet keresünk. Tehát: Mindazon érték, mely aír=+c (mod. /í)-nak megfelel, értéke egyszersmind az x=m (mod. A-)-nak is, és megfordítva, azon érték, mely x=m (mod. k) congruentiának megfelel, értéke az elsőnek is. Vagyis x=m (mod. le) megoldása az adott congruentiának, mégpedig az egyedüli, a mely lehetséges. b) Az első fokú congruentia megoldása. Az első fokú congruentia általános alakja: ax=+c (mod. k), hol lehetséges a) hogy a és k viszonylagos töi'zsszámok; P) a és k közös osztóval bir; y) hogy a modul bármely tetszőleges szám. Mielőtt az esetekre a megoldás módját fölkeresnők, egy általános