Dr. Kocsis Lénárd: A Pannonhalmi Főapátsági Szent Gellért Főiskola évkönyve az 1941/1942-I tanévre

Dr. Sárközy Pál: A körmérés

Ezeket az egyenlőségeket szorozva nyerjük . x sin^r— sin XXX x a

u — COS — COS —r • • • cos 2 4 2

n x_ 2» Az Ai-et minden határon túl növelve kapjuk a végtelen szorzatalakot sin x xxx = cos -pr~ cos —j— cos .x 2 4 8 Ez az Euler-féle képlet. jc Innen x — esetében nyerjük a Vieta-féle szorzatot 2 71 71 TI — COS -J- COS -TT- COS -777 71 4 ö 10 2. Euler adta egyúttal 1755-ben az arctg x leggyorsabban konvergáló sorfejtését.

1 Vegyük az u = arctg Ví(i-f) függvényt. Ezt «'Ml —f)

2 y = arctg|2(l —£) 2, alak szerint differenciálva és utána 2£ 2 (1 — £) 2 -el szorozva kapjuk 2|(1 — |) y' + (i —2f)y=l. Ezt az egyenlőséget «-szer differenciálva a Leibniz-szabályt figyelembe véve nyerjük 2 I (1—

i) y<

n+

l> + (2n + 1) (1 — 2 £) yW— 2

n

2 í/«"

1) = 0 A I = 0 helyen ez a kapcsolat adja w(n) ^ w(n-l) —ríí— w(n—1) . - 2/7 + 1 yo ~ n 2n+l

y Ezt az egyenlőséget egymásután alkalmazva, mivel y

0 = 1, 2 „"- 1 9 2,

4 „"'-1 9 o 2 . 4 . 6 «/o = 3-' .Vo =1.2. 3—

g ' 2/0 =1.^.0 3 5 ^ 7 • Általában 2 . 4 ... 2n ,/n) _ . 1 ~ 3 . 5 ... {2n + 1) 1 Tropfke p. 295. — Beutel p. 46.