A Hét 1985/1 (30. évfolyam, 1-26. szám)
1985-02-01 / 5. szám
Tudomány-technika BOLYAI JÁNOS GEOMETRIÁJA 1823 novemberében Bolyai Farkas, a köztiszteletnek örvendő marosvásárhelyi professzor levelet kapott János fiától, aki hadmérnökként Temesvárt szolgált éppen. A nevezetes levélben egyebek mellett a következő sorok is olvashatók: „A feltételem már áll, hogy mihelyt rendbe szedem, elkészítem, s mód lesz, a paralellákról egy munkát adok ki; ebbe a pillanatba nints kitalálva, de az az út mellyen mentem, tsaknem bizonyoson ígérte a tzél elérésit, ha az egyébaránt lehetséges; nints meg, de ollyan felséges dolgokat hoztam ki, hogy magam elbámultam, s örökös kár volna elveszni; ha meglátja Édes Apám, meg-esmeri; most többet nem szóllhatok, tsak annyit: hogy semmiből egy ujj más világot teremtettem; mindaz, valamit eddig küldöttem, tsak kártyaház a toronyhoz képest. Meg vagyok győződve, hogy nem sokkal fog kevesebb betsületemre szolgálni, mintha feltaláltam volna." A beavatatlan számára mindez vajmi keveset mond, de a derék professzor, aki egykoron, Göttingában a nagy Gaussal barátkozott, s akit a matematikusok fejedelme lángésznek nevezett, nos ő nagyon is jól tudta miről van szó. Már hogyne tudta volna, amikor a matematikát ő oltotta már egészen kicsi korában János fiába, s ő beszélt neki először a párhuzamosok kétezer esztendős problémájáról is. Arról a problémáról, amelynek megoldásával — annyi más elődjéhez és kortársához hasonlóan — hasztalan próbálkozott. Az egész ügy Euklidész-szel, a nagy ókori görög matematikussal kezdődött. Ő volt az, aki Elemek című munkájában (a közelmúltban magyarul is megjelent) összegyűjtötte és rendszerbe foglalta korának geometriai ismereteit, s tette ezt olyan áttekinthetően, hogy müvét évezredeken át tankönyvként használták. Euklidész könyve elején 35 meghatározást, 5 posztulátumot és 5 axiómát közöl, a továbbiakban ezekből kiindulva építi fel logikai úton a geometriát. A meghatározások, a posztulátumok és az axiómák olyan nyilvánvalóak, hogy nem szorulnak bizonyításra, egy józan gondolkodású ember könnyen belátja őket. Elvégre mi szükség van annak bizonyítására, hogy bármely pontból bármely más ponthoz húzható egyenes vonal? Vagy hogy az egyenes vonal bármeddig meghosszabbítható? Ezek maguktól értetődnek, olyannyira, hogy nem is bizonyíthatók. Van azonban az euklidészi posztulátumok között egy, az ötödik (illetve más kiadások szerint a tizenegyedik), amelylyel kissé másként áll a dolog. Ez a posztulátum — amelyet párhuzamossági axiómának is neveznek — eredetileg így hangzik: „Ha egy egyenes másik kettőt úgy metsz, hogy a metsző egyenesnek ugyanazon oldalán belül keletkező két szög összege a derékszög kétszeresénél kisebb, akkor a két egyenest határtalanul meghosszabbítva azon az oldalon találkozik, amelyiken a derékszög kétszeresénél kisebb összegű két szög van." Ezt a posztulátumot egyszerűbben is megfogalmazhatjuk. Ha egy tetszőleges P pont nincs az E egyenesen, akkor a P ponton keresztül csak egyetlen olyan egyenes húzható, amely az E egyenessel párhuzamos. Ez első pillantásra igaznak is látszik, csak az a bökkenő, hogy két egyenesről csak akkor állíthatjuk, hogy párhuzamosak, ha meggyőződtünk róla, hogy sehol sem metszik egymást. Ehhez viszont végig kellene járnunk a végtelen hosszúsági egyeneseket, ami nyilván lehetetlen. S mivel két egyenes párhuzamos voltáról a gyakorlatban nem tudunk meggyőződni, azt is feltehetjük, hogy az említett P ponton keresztül az E egyenessel több párhuzamos egyenes is húzható. Persze erről sem tudnánk meggyőződni, hiszen ugyanúgy végtelen egyeneseket kellene bejárnunk. Ezek után belátható, hogy az ötödik posztulátum vagy axióma állítása nem olyan nyilvánvaló igazság mint a többi axiómáé. Ha azt mondjuk, hogy a síkon van három olyan pont, amely nem fekszik egy egyenesen, akkor ennek a kijelentésnek az igaz voltáról egy kis papírlapra rajzolva a pontokat és az egyenest meggyőződhetünk. De az ötödik posztulátum belátásához be kellene járnunk a végtelen teret. Ezért a matematikusok közvetett módon akarták bizonyítani, illetve cáfolni az ötödik posztulátumot. Ezeknek a kísérleteknek a részletes ismertetésére most nem térek ki, csupán néhány olyán tudós nevét említeném meg, akik figyelemre méltó eredményre jutottak a probléma megoldásában: Giovanni Saccheri (1667—1733), Johann Lambert (1728—1777), Ferdinand Schweikart (1 780—1859), Franz Taurinus (1 794— 1874) stb. Bolyai Farkas is sok időt fordított a paralellák problémájának megoldására, de nem nagyon jutott előre, ezért is rettent meg annyira, amikor a fia arról írt egyik levelében, hogy a párhuzamosok kérdése izgatja őt. Igyekezett Jánost lebeszélni a meddőnek ígérkező, idötrabló munkáról, s a saját kudarca annyira kétkedővé tette, hogy még a helyes megoldás láttán is csak a fejét forgatta, s nem hitt a szemének. Ez mindennél meggyőzőbben bizonyítja azt, mennyire újszerű, mennyire forradalmi jelentőségű volt Bolyai János felfedezése, amelyről 1823- ban a már idézett kijelentést írhatta: „semmiből egy ujj más világot teremtettem". Igaz, akkor még csak a fejében létezett az idea, s aligha csodálkozhatunk, hogy a kaszárnyaélet szorításában élő Bolyai Jánosnak még évekbe tellett, amíg konkrét formában papírra vethette abszolút geometriáját. Bolyai János eleinte azt az utat követte, amelyen apja is haladt. Feltételezte, hogy az ötödik posztulátum állítása hamis, s azt remélte, hogy e feltételezés alapján előbbutóbb ellentmondásba ütközik, ami azt bizonyítaná, hogy az ötödik posztulátum mégiscsak igaz. Az eredeti feltevést cáfoló hibát azonban nem sikerült megtalálnia, s ekkor rádöbbent arra, hogy talán nem is létezik ilyen hiba. Viszont, ha nincs ilyen hiba, akkor Euklidész geometriája nem a valós világot írja le, hanem csak az egyik lehetséges formáját. Ha tehát elhagyjuk az ötödik axiómát, akkor egy másféle, Euklidész geometriájától különböző geometriát alkotunk, amelynek segítségével a világot más formában írhatjuk le. Bolyai János az euklideszi és a nemeuklideszi geometriát egyaránt magába foglaló tudományt nevezte el abszolút geometriának. „Az abszolút geometria gondolata rendkívül merész — írja gondolata rendkívül merész — írja Alexits György, a kiváló magyar matematikus Bolyai János világa c. könyvében —, de csupán költői fantázia maradt volna, ha Bolyai nem bizonyította volna be a nemeuklideszi geometria ésszerűségét, amelyben tehát az E egyeneshez több párhuzamost is lehet húzni ugyanazon P ponton keresztül. (Az euklideszi geometriát nem kell bebizonyítania, mert azt már mindenki ismerte.) Ezt a bizonyítást többek közt úgy lehet végrehajtani, hogy ténylegesen megszerkesztjük a nemeuklideszi geometria valamilyen rendszerét, vagyis kiválasztjuk a pontoknak és egyeneseknek egy olyan sokaságát, amelyen — mint egy modellen — megvalósul a nemeuklideszi geometria." Ezt a bizonyítást és szerkesztést Bolyai János egy huszonhat oldalnyi terjedelmű tanulmányban végezte el, amely apja kétkötetes, latin nyelven írt matematikai munkájának, a Tentamennek függelékeként jelent meg 1832-ben, ezért kapta az Appendix címet. A tér abszolút igaz tudománya alcímet viselő dolgozatot Bolyai Farkas önálló füzetben is megjelentette, még a Tentamen kU nyomtatása előtt, s ezt a füzetkét elküldte a régi barátnak, Gaussnak is. A sors iróniája, hogy Bolyai Farkas nem volt teljes mértékben tisztában fia munkájának jelentőségével, de becsületére legyen mondva, mindent elkövetett annak érdekében, hogy fiára felhívja a figyelmet. Talán a fentiekkel magyarázható, hogy nem tűnt fel neki, milyen felemás módon, szinte a prioritás jogát elvitatva dicsérte meg az Appendixet a korabeli matematika vezéregyénisége: „Most valamit fiad munkájáról — írta Gauss. — Ha avval kezdem, hogy nem szabad megdicsérnem, bizonyára egy pillanatra meghökkensz; de mást nem tehetek; ha megdicsérném, ez azt jelentené, hogy magamat dicsérem: mert ez a mű egész tartalma, az út, melyet fiad követett, és az eredmények, amelyekre jutott. majdnem végig megegyeznek részben már 30—35 év óta folytatott meditatióimmal. Valóban ez rendkívül meglepett engem. Szándékom volt, hogy saját munkámból, melyből egyébiránt mostanáig csak keveset tettem papirosra, életemben semmit sem bocsátók nyilvánosságra (...) Nagyon meglepett tehát, hogy e fáradságtól már most megkímélhetem magamat, és nagyon örvendek, hogy éppen régi jó barátom fia az, ki engem olyan csodálatos módon megelőzött." Mit lehet erről mondani? Valóban ismerte Gauss a rejtély megoldását, méghozzá idestova három és fél évtizede már, csak korainak tartotta még, hogy előhuzakodjon vele? De akkor legalább miért nem írta le magának? S ha már egyszer elkészült az Appendix, miért nem ismertette annak tartalmát a német matematikusok lapjában, ahogy azt szokása szerint más szerzőkkel és más művekkel korábban és később is megcselekedte? Ma már megválaszolhatatlan kérdések ezek, s Bolyai János, aki tisztában volt munkája jelentőségével, joggal érezhette azt, hogy a nagy Gauss cinikus módon meglopta őt, s Gaussnak azt az érvelését sem fogadta el, hogy azért nem publikálta eddig a felfedezést, mert a kor még nem érett meg rá. „Nézetem szerint (...) a tudományban úgy, mint magában a közönséges életben, mindig arról van szó, hogy szükséges és közhasznú, de még homályos dolgokat kellően tisztázzunk és az igaz és helyes iránt még hiányzó vagy inkább szunnyadó érzéket felkeltsük, kellően edzzük és előmozdítsuk. A mathematika iránti érzék általában az emberiség nagy kárára és hátrányára, fájdalom, csak igen kevés emberben ébred; és ilyen okból vagy ürügyből Gaussnak, hogy következetes maradjon, kitűnő műveinek még igen jelentékeny részét magánál kellett volna rejtenie." Végeredményben leszögezhetjük, hogy Gauss nem alkotta meg a nemeuklideszi geometriát, ez a huszárvágás csupán két embernek sikerült, akik egymástól távol és egymástól függetlenül jutottak lényegében ugyanarra az eredményre. Az egyik Bolyai János volt, a másik pedig a kazanyi egyetem professzora, Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij (1792—1856). Bolyai János Lobacsevszkijnek a „hiperbolikus geometriát" tárgyaló könyvét először 1848-ban vehette kézbe, tehát 16 évvel azután, hogy az Appendix megjelent, s még akkor is arra gyanakodott, hogy az valójában Gauss álnéven kiadott munkája. A csalódás, amelyet Gauss viselkedése okozott és a fiatal korában szerzett malária kedveszegett, keserű emberré tette Bolyai Jánost. Apjával gyakran összetűzött, matematikai kutatásokat csak rendszertelenül végzett; az Appendix mellett egyetlen figyelemre méltó matematikai tárgyú műve maradt fenn, a Responsio, amelyben a komplex számoknak az abszolút geometriában betöltött fontos szerepét taglalta és bizonyította. Akárcsak Bolyai Farkas, Bolyai János is foglalkozott társadalomelméleti kérdésekkel, Üdvtanának töredékei eredeti, bár helyenként naiv elképzeléseket tartalmaznak. A világtól elzárkózva, magányosan élte utolsó éveit, szűkebb környezetében senki sem volt tisztában matematikai munkásságának jelentőségével. De ezen talán nem is lehet csodálkozni, hiszen a tudományos világ is csak jóval halála után szolgáltatott igazságot neki. Bolyai János, a legnagyobb magyar matematikus 125 esztendeje, 1860. január 27-én halt meg. LACZA TIHAMÉR Egy lap az Appendixből 16
