Vízügyi Közlemények, 2001 (83. évfolyam)
2. füzet - Reimann J.-Fehér J.-Gáspár J.: A mértékadó vízhozam hossz-szelvény meghatározása
.4 mértékadó vízállás/vízhozam hossz-szelvény meghatározása 253 Emlékeztetünk az elemi valószínűségi tételre, miszerint két tetszőleges esemény: A ] és A2 esetében: P(A Í +A 2)=P(A, )+P(A 2yP(A xA 2)=S x-S 2 Р(А^ 2+А$4\А х)*Р(А г}*Р{А ъуР{А хА 2уР(А хА ъуР{А 2А гуР(А Az (5) formula ezen elemi összefüggés általánosítása tetszőleges N számú eseményre. Az (5) formula birtokában könnyen kiszámíthatjuk annak P[o] valószínűségét, hogy az Ai, A2, ...,An események egyike sem következik be: P [0 ]=l-P(/Í, +A 2+. .. +A N)=l-S l +S 2-J3+. ..±S N (3 ') 1.2. A P[ m] valószínűség A (4) formula érvényességének bizonyítása, amely formulának Jordán (\956) az általános valószínűségi tétel nevet adta. A tétel: tetszőleges m egész számra, (1 < m <N) annak Py m] valószínűsége, hogy az A \, A 2, ..., A n események közül pontosan m számú fordul elő egyidejűleg: m+Г W 2 N V Sm+2- •••± m m m V V \ \ Sn (4') A tétel bizonyításakor hasonlóan járunk el, mint az (5) formula származtatásánál. Legyen e egy tetszőleges elemi esemény és tegyük fel, n számú hogy e pontosan esemény közös részében van benne az A1, Ai, ..., An események közül. Az e elemi esemény valószínűsége legyen P(e). A P(e) valószínűség a (4') P( m) összeghez akkor járul hozzá, ha n=m • P(e) szerepet játszik az 5], S 2, ..., S n tagokban a (4') formulában, de nem játszik szerepet az S„+i, S„ + 2,..., S^-ben, mivel feltettük, hogy n számú esemény közös részében van benne. Ha n<m, akkor P(e) a (4') összeg jobb oldalában nem játszik szerepet. Ha n=m, akkor P(e) a (4') összeg első tagjában, S m-ben fordul elő. A bizonyítás teljes lesz, ha kimutatjuk, hogy n>m esetén P(e) hozzájárulása az S m, ..., S,v összegekhez zérus. Azon n számú Ац, A i 2, ..., A i n esemény közül, ame/ N n lyek az e elemi eseményt tartalmazzák, akkor P(e) teljes hozzájárulása a (4') összeghez: számú k—s csoportot képezhetünk. Ha n<m, / Л n m V y 'WO m n m+ 1 + n m+2 í ~>\ / m+ 3 n m+ 3 (5') Mivel: / \ m+v í \ n (m+v)! ni ni (n-m)l r \ n r \ n—m m V m+v V У m\ v! (m+v)l(n—m—v) m ! (n—v ) vl(n—m—v) m \ V ч У azaz:
