Vízügyi Közlemények, 2001 (83. évfolyam)

2. füzet - Reimann József: Az árvizek tetőzésének és tartósságának valószínűség-számítása

Árvízi tetözések és tartósságok valószínűségének számítása 239 egyszerű. Abban az esetben, amikor mindkét változó exponenciális eloszlású, akkor a kapcsolat lineáris függvény. Abban az esetben, ha mindkét változó normális eloszlású, a kapcsolatot egy elsőfokú függvény írja le. Ha ugyanis F(x)=iV(mi,Pi) G(y)=N(m

2,p

2), akkor Ф У~

т2 = Ф (42) (43) ahol Ф a standard normális eloszlásfüggvény. (42) egyenletből következik, hogy y-m

2 x—m\ c2 ~ Megjegyezzük, hogy a regressziós egyenes, amelynek egyenlete, y-mx—m i —

1 (44) ст

2 CT, akkor egyezik meg a kvantilis görbével, ha a Pearson-féle p korrelációs együttható p=l. 6. Az X túllépés és az F tartósság együttes kétváltozós eloszlásfüggvénye Ha az A'túllépés és У tartósság együttes kétváltozós eloszlásfüggvényét a H(xy)=P(X<x, Y<y) (45) együttes eloszlásfüggvényt ismerjük, akkor X és Y kapcsolatát illetőleg, valamint a két változó együttes viselkedéséről minden információval rendelkezünk, csak ki kell tudni olvasni az információt az eloszlásfüggvényből. Könnyíti az információ kiolvasását, ha tudjuk azt is, hogy az X és Y változók között pozitív kvadránsfüggőség áll fenn, azaz H(x,y)=P(X<x, Y<y) >P(X<x)P( Y<y) (46) minden (x,y) értékre. A pozitív kvadránsfüggőség ellenőrzésére alkalmas pl. pl mediánkorreláció kiszámítása. Kimutatható, hogy ha a Pearson-féle p korrelációs együttható pozitív, akkor fennáll a pozitív kvadránsfüggőség, ami lényegében közös monoton növekvő kapcsolatot jelent. Pozitív kvadránsfüggőség esetén a H(x,y) együttes eloszlásfüggvényre a következő egyenlőtlenség teljesül: F(x)Glv)<H(xy)<mm[F(x), G(y)]- (47) Ennek belátására vezessük be az {X<x}=A{Y<y}-B eseményeket. Ekkor H(xy)=P(X<x, Y<y)= P(AB)