Vízügyi Közlemények, 1986 (68. évfolyam)

3. füzet - Rátky István: Mélység mentén integrált kétdimenziós áramlás matematikai modellje

Mélység mentén integrált kétdimenziós áramlás matematikai modellje 319 2. Nem-lineáris disszipáció Az adatokon túl a diszkretizálás módja és az alkalmazott differenciaséma is erősen befolyásolja a megoldás pontosságát és a stabilitást. A problémát itt is a nem-lineáris konvektív tagok okozzák. A jelenség hasonló az egyszerűbb egyenleteknél matematikai úton tisztázott jelenségekhez. Mint ismert, a lineáris konvektív egyenletek (lineáris kinematikus hullámegyenletek) vagy a konvektívdiffuzív egyenletek (diffúziós hullámegyenletek) differenciálása csak numerikus hibával lehetséges (Vreugdenhil-Voogt 1975, Szöllösi-Nagy 1982). Az olyan differenciasémákat, melyek a folytonos egyenlet fizikai disszipációjához viszonyítva numerikusan többletdisszipációt „termelnek", disszipatív differenciasémáknak nevezzük (Abbott 1979). Lineáris egyenleteknél ezt a többletdisszipációt ki lehet fejezni a numerikus diffúzió segítségével. Példaként az egydimenziós, lineáris, konvektív-diffuzív transzportegyenlet numerikus diffúzióját adjuk meg. Ha alkalmazzuk az időben haladó és térben centrális differenciasémát, Taylor-sorba fejtéssel megkaphatjuk, hogy tulajdonképpen a fenti egyenlet helyett a egyenletet oldjuk meg. Ahol a -u

2At/2 a numerikus diffúziós együttható. Ez a numerikus diffúzió okozza az amplitúdó- és fázishibán kívül a stabilitási problémát is. Negatív diffúziós együttható fizikailag lehetetlen, energiadisszipáció helyett energiatermelést jelentene. Ebből következik a H írt-féle stabilitási feltétel, hogy a numerikus és a fizikai diffúziós együtthatók összegének pozitívnak kell lennie. Ehhez hasonló, de komplikáltabb a (7), (8) egyenletek nem-iineáris konvektív tagjainak hatása is. Ebben az esetben nem-lineáris disszipációról, numerikus viszkozitásról és nem-lineáris instabilitásról beszélünk. A heuresztikus stabilitás feltétele, hogy a fizikai és numerikus viszkozitás összege pozitív legyen. Mivel a numerikus viszkozitás negatív, így arra kell törekedni, hogy az minél kisebb legyen, így várható összességében pozitív viszkozitás. A nem-lineáris instabilitás egy szemléletes magyarázata adható energetikai szempontból. Mint említettük az előző pontban, a Reynolds-feszültség energiát szállít az egyre kisebb cirkulációs áramlások felé. A szállított energia elérve a megfelelő kicsinységü örvényekhez, viszkozitás következtében disszipálódik (elvész, pl. hővé alakul). Numerikus megoldás során a lehetséges legkisebb méretű örvény átmérője kétszerese lehet a diszkretizálási méretnek. Ha ez a méret túl nagy a disszipációhoz, az energia itt felgyülemlik, a modell numerikus oszcillációba kezd, numerikusan instabillá válik. Ez az energetikai elmélet a Reynolds-egyenletre érvényes. Ma még nem tisztázott, hogy ez mennyire áll fenn a mélység mentén integrált egyenletre is (Verugdenhi! 1973, Breusers 1984). A nem-lineáris instabilitás csökkentésére többféle módszer ismert az irodalomban. Az alábbiakban mi kétféle módszert alkalmazunk. Egyrészt a pozitív látszólagos viszkozitás (v) növelését, másrészt a negatív numerikus viszkozitás csökkentését. Az előbbire ad lehetőséget az, hogy a turbulens és az integrációs feszültség közelítésére a Reynolds-