Vízügyi Közlemények, 1985 (67. évfolyam)
2. füzet - Mekis Éva-Szöllősi-Nagy András: Determinisztikus, sztochasztikus és egyesített determinisztikus-sztochasztikus rekurzív hidrológiai előrejelző modellek összehasonlító vizsgálata
Determinisztikus, sztochasztikus és egyesített... 241 Vergleichende Untersuchung von deterministischen, stochastischen und vereinigten deterministisch-stochastischen rekursiven hydrologischen Vorhersagemodellen von Dipl.-Meteor. Dipl.-Math. Éva MEKIS und Dr.-Ing. András SZÖLLŐSI-NAGY Die Zielsetzung der Studie war eine vergleichende Untersuchung von rekursiven Modellen für lie Echtzeitvorhersage des Flußbettabflusses. Ein Vorteil der rekursiven Verfahren ist, daß sie auf Kleinrechner adaptiert werden können und daß sie, unter Verwendung neuerer Daten, auch eine Sachführung der Vorhersagen ermöglichen. Die aufgrund der gleichen Datenbasis untersuchten Vlodelle waren die folgenden: - ein rein deterministisches diskretes lineares Kaskadenmodell (DLCM); - ein rein stochastisches autoregressives Zeitreihenmodell vom Typ der gleitenden Mittelwerte (ARMAX); und - ein vereinigtes deterministisch (DLCM)-stochastisches (ARMA) Modell. Die Grundgleichungen (1) und (2) des DLCM (Szöllösi-Nagy, 1982) definieren eine mit der Anfangsbedingung (6) gegebene Rekursion und dienen als Grundlagen der Vorhersage. (Über die lier näher nicht zu erörternden Erfahrungen mit der operativen Anwendung berichten Bartha, izöllösi-Nagy und Harkányi (1983)). Als Test-Datenreihe der vergleichenden Untersuchung wurde lie Serie der Tageswerte des Donaupegels Dunaföldvár von 1982 verwendet. Die Eingabegrößen 1er Untersuchung bildeten die Tageswerte des Donaupegels Budapest. Bei der Ermittlung der Modellparameter wurde das Gitter-Optimierungsverfahren von Harká<yi ( 1982) verwendet, als dessen Ergebnis sich die Parameterwete n = 2 und ^=0,32 [Tag] ergaben. Bild 1. zeigt die Zeitreihen der gemessenen und mit dem DLCM mit 1 Tag Zeitvorspung orhergesagten Durchflüsse. Bereits aus diesem Bild ist die Persistenz der Fehler ersichtlich, die von 1er in Bild 2. gezeigten Zeitreihe der Ein-Schritt-Vorhersagen auch unterstrichen wird. Über die 'erzerrtheit des DLCM (= - 111,3 m 3 • s 1) hinaus fallt auf, daß einem negativen Fehler oft ein egativer Fehler, bzw. einem positiven Fehler oft wieder ein positiver Fehler folgt. Tatsächlich, wie s auch von Bild 3. nachgewiesen wird, ist die Fehler-Zeitreihe stark autokorreliert, beträgt ja der iin-Schritt-Autokorrelationskoeflizient r(l) = 0,74. Dieser hohe Wert deutet daraufhin, daß die ^eitreihe noch weitere Informationen enthält, die vom DLCM nicht verwertet wurden: eien notwenige Voraussetzung für die Oplimalität eines Vorhersagemodells besteht ja bekanntlich darin, daß ie Ein-Schritt-Vorhersagefehler ein Gauß'sches weißes Geräusch bilden. Die Zustandsraum-Formulierung (12) des ARMAX-Modells (9) ermöglicht eine rekursive ibschätzung nach Gl. (13) der sich einer zufälligen Irrfahrt gemäß ändernden Modellparameter. Bild 4. zeigt die gemessen Durchflußreihe von Dunaföldvár und die mit Hilfe des rein Stochastiken, N = 8-dimensionalen ARMAX-Modells, mit einem Kaiman-Filter vorhergesagten Einchritt-Durchflußwerte. Die Vorhersage schcint sehr gut zu sein, was auch von der Autokorrelaonsfunktion ( Bildô.) der Ein-Schritt-Fehlerzeitreihe ( Bild 5.) beweist wird, entspricht ja genannte lutokorrelationsfunktion im wesentlichen der Korrelationsfunktion eines Gauß'schen weißen ieräusches mit der statistisch nullwertigen Ein-Schritt-Autokorrelation von r = -0,03. Die wäh:nd der Anfangsperiode (während der ersten 50 Schritte) begangenen großen Fehler sind dem us der Rekursivität des Filters folgenden - „Lernen" zuzuschreiben, was auch durch die in Bild 7. ïzeigten Veränderungen der Spuren der Kovarianzmatrix des Zustandschätzungsfehlers beweist ird. Die Kovarianzmatrix stabilisiert sich etwa nach 50 Schritten; von hier aus verändert sie sich diglich der infolge der Fehlerrückschaltung auftretenden „feineti Stimmung" entsprechend. Bild 8. eilt die erste Variante des ARMAX-Modells dar. Zwar resultiert das Modell in einer Rest-Zeitreie Typ weißes Geräusch, kann seine Verallgemeinerung für eine Mehr-Schritt-Vorhersage leicht zu »ivergenzen führen. Das Modell ist nicht imstande, die Physik des Abflusses auf explizite Weise i berücksichtigen, seine Parameterveränderungen können auf physikalischer Basis nicht erklärt erden. Die autokorrelierte Fehlerzeitreihe des DLCM kann mit dem ARM A-Modell (24) beschrieben erden. Mit der Zustandsraum-Formulierung (26) des ARMA-Modells kann ein vereinigtes deterlinistisch-stochastisches Modell der Fchlcrzeitreihe aufgebaut werden (vgl. Gin. (34) bis (39)). In - i/ugyi Közlemények 2.
