Vízügyi Közlemények, 1982 (64. évfolyam)
1. füzet - Rövidebb tanulmányok, közlemények, beszámolók - 1. Szöllősi-Nagy András: A kinematikus hullám és a Kalinyin–Miljukov–Nash modell ekvivalenciája
A kinematikus hullám és a KMN-modell ekvivalenciája 119 illetve mátrixos alakban -1 1 -1 x(/)=Fx(0 + Gu(0 x(0 + C/Ax 0 0 "(0. (4) (5) ami egy lineáris időinvariáns folytonos dinamikus rendszer állapotegyenletének felel meg. Az F rendszermátrix Toeplitz típusú (definíciója: Rózsa 1974) és szerkezetét tekintve megegyezik a kaszkád modell rendszermátrixával (Szöllősi-Nagy 1981a). Az utolsó rész-szakaszból kifolyó vízhozam megegyezik a teljes szakasz vízhozamával; a fentiekben definiált állapotváltozókkal tehát illetve y(0=[0, 0, ..1] y(0=Hx(0. *l(0 *n(0 (6) (7) Említésre méltó dualitás van a lineáris kinematikus hullám és a KMN-kaszkád állapottér modelljei között. Az F rendszermátrix mindkét esetben ugyanolyan struktúrájú kontinuáns mátrix, az elemek között K=Ax/C teremt kapcsolatot, ahol К a kaszkád idődimenziójú tározási (késleltetési) tényezője. Van azonban különbség a két állapotmodell között, nevezetesen azok G és II vektorai különböznek, bár szerkezetileg azonosak, mivel mindkét esetben az első, ill. utolsó elemek különböznek zérustól. A kaszkád G és H vektorai nem zérus elemeinek felcserélésével és а К helyére AxjC írásával viszont a kinematikus hullám (4) és (6) összefüggésekkel jellemzett állapottér modelljéhez jutunk. Ami e dualitásnál azonban lényegesen érdekesebb az az, hogy rendszerelméleti szempontból a lineáris kinematikus hullám és a kaszkádmodell ekvivalens. Ezt az impulzusválasz-függvény kiszámításával lehet igazolni, lévén hogy két rendszer akkor ekvivalens, ha impulzusválaszuk azonosan egyenlő. Ismeretes (pl. Csáki 1973), hogy lineáris dinamikus rendszer h(t) impulzusválasza az állapottér modellből a Л(0 = НФ(0& (8) képlettel számítható, ahol 0(t) az állapotátmeneti mátrix, amely időinvariáns esetben az F rendszermátrix Ф(0=ехр (Ff) mátrixexponenciálisa. Elemi számolással belátható (Szöllősi-Nagy 1981a) hogy a hossz mentén diszkretizált kinematikus hullám állapotátmeneti mátrixa az alábbi alsó háromszögmátrix:
