Vízügyi Közlemények, 1975 (57. évfolyam)
3. füzet - Dégen Imre: Költség-haszon elemzés matematikai módszerei a vízgazdálkodásban
Költség-haszon elemzés 311 A differenciálszámítás alkalmazásával megkapjuk a (3) Lagrange-függvény maximumához szükséges feltételeket. Ezek a következők: Ha figyelembevesszük, hogy Ф г (X x, X 2, ... X n) függvény a'rendelkezésre álló eszközöknek X változásával bekövetkező felhasználását fejezi ki, akkor a (6) kifejezés jobb oldala a felhasznált eszközök A r szerint súlyozott összegét fejezi ki. A (6) kifejezés tehát azt jelenti, hogy a célfüggvény parciális differenciálhányadosai (marginális eredmény) egyenlők az eszközráforditási függvény parciális differenciálhányadosával (marginális költség). Ez az ún. „neoklasszikus iskola" marginális elemzésének alaptézise, ami egyszerű belátás alapján is nyilvánvaló. Nézzük ehhez a 2. ábrát, amely a kiépítés függvényében tünteti fel az eredményt és költséget, valamint a marginális eredmény és költséggörbét. Ebből kitűnik, ha az eredményfüggvény parciális deriváltja nagyobb, mint az eszközfelhasználást kifejező függvény parciális deriváltja, akkor kifizetődik növelni az eszközráfordítást. Ha például valamely eszközráfordítás határnövekményénél nagyobb mértékben növekszik az ennek hatására elért nyereség, érdemes ezt a ráfordítást növelni, mert a nyereség még tovább növelhető. Ha viszont a célfüggvény parciális deriváltja kisebb, mint az eszközfelhasználást kifejező függvény parciális deriváltja, akkor célszerű ennek az eszköznek a ráfordítását csökkenteni, mert ennek eredményeképpen a cél megvalósításának nagyobb fokát érjük el. A 2. ábra alapján a létesítmény optimális kapacitás nagyságának kiválasztási problémája a következő lépésekbe sűríthető: ki kell választani a létesítmény nagyságát jellemző paramétert, ennek függvényében az eredményeket és költségeket ábrázoljuk, majd e görbék meredekségéből megszerkeszthető a marginális eredmény és költséggörbe (hiszen az első derivált nem más mint a görbe meredeksége), az optimumot a görbék metszéspontja adja. Hangsúlyozni kell, hogy ez az optimalizálás két fázisú folyamat. Az eredmény és költséggörbék megszerkesztése egy elsődleges optimalizációt tételez fel, amely az eredmény előállításához a legkisebb költségű ráfordítást adja, vagy fordítva adott költségszinten a legnagyobb eredményt teszi lehetővé. A gyakorlatban nemcsak a költségek és eredmények figyelembevételével kell döntéseket kialakítani, hanem Jmás korlátokat is tekintetbe kell venni. Nézzünk erre vonatkozóan két gyakorlati feladatot, amely vonatkozzék egy vízgyűjtő vízkészlete hasznosításának költség-haszon elemzésére. dx t dx t á r dx t 0 (/'=1/2, ... rí) (5) vagyis (6)
