Vízügyi Közlemények, 1971 (53. évfolyam)
4. füzet - Stelczer Károly: Görgetett hordalék mozgásának jellemzése a valószínűségelmélet módszerével
358 Stelczer Károly B) A görgetett hordalékszemcse által v lépésben megtett út hosszának, valamint a virtuális sebességnek sztochasztikus jellemzése sűrűség- és eloszlásfüggvények segítségével. Tekintsük tehát most azt az esetet, amikor a vizsgált hordalékszemcse által T idő során megtett lépések száma v(T) = 0, 1, 2, ..., n,... diszkrét eloszlású valószínűségi változó, és az egyes lépések hossza | 0 = 0, | 2, ... £ v( r) egymástól és T-től független valószínűségi változó. Legyen P[v(T) = n]=p n(T), (n = 0, 1, 2, ...); vagyis annak a valószínűsége, hogy a T idő alatt megtett lépések száma n, egyenlő p n (T)-vel. Jelölje G(x) a vizsgált szemcse által v(T) számú lépésben megtett JJ = | 0 + + £1 + ^2+ • • • +£><r) út eloszlásfüggvényét. A teljes valószínűség tételének felhasználásával bebizonyítható, hogy G(x)=2Pn{T)G n(x) (27) n=1 ahol G n(x) a í 0 + | 1 + í 2+• • •+S n valószínűségi változó eloszlásfüggvényét jelöli, ami az (5) egyenlőség miatt n = l, 2, ... esetén 0 ha x<0 X Z $2 i r'n( x)=\ J J J J ... J rpÁSMiS.-SMi^-S,).. .<Pn-i(Sn-i-S n-J- (28) 0 0 0 0 0 • <p n(z — dS xdS 2...dz ha x>0 alakú. Az 7i=0 esetben G-(x) a | 0 = 0 elfajult valószínűségi változó ÍO ha x^O _ _ „ (29) [ 1 ha x>0 eloszlásfüggvénnyel egyenlő. a) Ha az egymástól és v(T)-től független f 2, |„ valószínűségi változó A P i paraméterű gamma-eloszlású, v(T) pedig Poisson-eloszlású valószínűségi változó, vagyis (KT) n _ " ~n! (n = 0, 1, 2, ...) akkor kimutathatóan P[v{T)=n] = K—Le-*T (30) G(x) = 0 ha x Pl+P2 +- +P n~ 1e-' xdxha x>0 á:i n! r(p 1+p 2+...+p n)J (31)
