Vízügyi Közlemények, 1959 (41. évfolyam)

2. füzet - VI. Kisebb közlemények-Ismertetések

Ivicsics: Áramkének 287 A fentieket figyelembe véve láthatjuk, hogy a folytonos,potenciálos mozgásokat jellemző áramképek a kezdeti és a határfeltételek ismeretében meghatározhatók (a megfelelő potenciálvonalak és áramvonalak megszerkeszlhetők) lennének, ha a (3) egyenlet általános megoldása megtalálható lenne. Minthogy azonban ez az általános megoldás hiányzik, az áramképek meghatározásánál az alábbi három módszer valamelyikéhez folyamodunk. 1. A Laplace-egyenleteken kívül találhatók olyan függvények, amelyek bizonyos vízmozgási jelenségek áram-, illetőleg potenciálvonalait jellemzik. Például a , 2 z—b w = arch (5) b komplex változós függvényből a W = <p + i y: és z = x + i y helyettesítéssel levezethető két olyan egyenlet, amelyeknek egyike vízáteresztő talajra épített gát b szélességű alaplemeze alatti szivárgás potenciálvonalait, a másik pedig ugyanerre az esetre vonatkozó áramvonalakat jellemzi, tehát a függvények ismeretében az áramkép megszerkeszthető. Sajnos az ilyen függvények száma aránylag kicsi, csupán néhány különleges feladat megoldásánál jelentenek segítséget. 2. Ha az első módszer alkalmazásától nem várhatunk eredményt — és ez a leggyakoribb eset —, megvalósítjuk a jelenség kismintáját, és az áramképet a kismintabeli mérési, megfigyelési eredmények alapján szerkesztjük meg. Azonban a kisminta megépítése, műszerekkel, segédberendezésekkel való felszerelése rendszerint költséges, hosszabb időbe telik és bizonyos jelenségek kismintabeli megvalósítása számottevő nehézségekbe ütközik. 3. Sok esetben nagy lépéssel jutunk előbbre a feladat megoldásában, ha a (3) egyenlet matematikailag pontos megoldásának hiányában annak közelítő megoldását keressük meg. A közelítő megoldás egyszerű módja az ún. relaxáció módszerének alkalmazása. Ezzel a módszerrel a külföldi szakirodalomban többször találkozunk, nálunk ezideig kevéssé terjedt el. A következőkben röviden ezt a módszert ismertetjük. A feladat — mint említettük — a (3) egyenlet , t_ közelítő megoldásának meghatározása. Osszuk fel az áramlási síkot, amelyet a (3) egyenlettel jellemzett potenciálvonalak behálóznak, D a oldalhosszúságú négyzetekre (az 1. ábra ilyen négyzethálózat részletét mutatja) [1]. Jelöljük a <To-kal jellemzett sarokpont derékszögű koordinátáit SÍ SSl Ih^l Sfl. _ (x

0, i/o) -al. Ebben az esetben az (i

0 + a/2, y

0), valamint az (x

0 — a/2, y

0) pontokban a <p függvény x szerinti parciális differenciálhányadosainak köze- o lítő értéke, 9 <p çi — ç

o a [arm — "

I L ox a „ és (6) 9 1 5 d f p^ 1. ábra. Az áramlási sík felosztása 01 a Ennek figyelembevételével az (x

0, i/o) pontbeli második parciális differenciálhányados közelítő értéke <Fi — To <Po — <P3 6 2<p a a <FI + <P3 — 2<po (7) Yí % o % ! o 0 0