Vízügyi Közlemények, 1937 (19. évfolyam)

1. szám - vitéz Filep Lajos: Egyenlő gömbökből álló halmazok

140. minder. [2, 0, 2] jelű halmaz fejleszthető az [1, 0, 3] jelkép szerint is, de nem minden [1, 0, 3] jelképű halmaz fejleszthető a [2, 0, 2] jelkép szerint. Ezeken kívül néha két egészen különböző halmazcsoport minimális sűrűsége is azonos, mint amilyenek a [2, 2, 4J'p és az [1, 6, JJ halmazok. Az ismertetett halmazok valamennyien összenyomhatatlanok. Egyikben sincsen olyan gömb, melynek valamelyik féltekéjére ne jutna érintési pont. A halmazok egyenletesek és egyenlő gömbökből állnak. Ha a halmazok véges részét sík lapok közé fogom s a lapokra nyomást gyakorolok, a gömbök a nyomóerőt gömbrőlgömbre tovább adják a szemközti határlapoknak anélkül, hogy helyükről kimozdulnának. Tehát összenyomó erőre a halmaz nem változik. Vannak azonban az ismertetett halmazok között egyesek, melyeknek egyes gömbjei együttesen mozogva, forgó mozgásra volnának képesek. Ilyenek például némely esetben azok a halmazok, melyek az I. táblázatban feltüntetett IV., V., VIII. és IX. alapidomból származtathatók. Az ábrákról láthatjuk, hogy egyes gömbök gömbcsoportot alkotva együttesen elforoghatnak egy olyan tengely körül, amely a réteg középsíkjára merőleges és az alapidom középpontján megy át. Ilyen forgás a halmazra kívülről ható nyomóerő következményeképen nem keletkezhetik, ezért az ilyen halmazok is összenyomhatatlanok, de labilis egyensúlyi állapotuk miatt meg nem maradhatnának tartósan a bemutatott állapotukban. Az ábrákból láthatjuk azt is, hogy ilyen forgás csupán a halmazok legkisebb sűrűsége esetén lehetséges. Ha a halmaz sűrűsége a legkisebb értéknél valamelyest nagyobb, a halmaz gömbjei ilyen forgó csoportokat nem alkothatnak és a halmaz stabilis egyensúlyúvá lesz. Ezért tehát ezek a halmazok is ténylegesen felvehetik legkisebb értéküket, de akkor labilis egyensúlyúak. A felsorolt halmazok legtöbbje olyan, hogy gömbjeik közé nem lehetne még ugyanakkora gömböt helyezni, mint az alkotó gömbök, de vannak olyan esetek is, mikor ilyen gömbök még elférnek. Ezek az utóbbi halmazok azonban valamennyien olyanok, hogy szomszédszámukat és elrendezési szabályukat megtartva odáig sűríthetők, hogy egész gömb már nem fér el gömbjeik között. Azonkívül még az olyan halmazok között is, melyeknek gömbjei közé a halmazt alkotó gömbökkel egyenlő nagyságú gömb el nem fér, vannak olyanok, melyeknek hézagtérfogata nagyobb az eddig legnagyobbnak tartott 47-5%-nyi hézagtérfogatnál. Ha az I. táblázatban felsorolt halmazokat szomszédszámuk és sűrűségük szerint csoportosítjuk, úgy amint azt a II. táblázatban látjuk, akkor azt tapasztaljuk, hogy a kisebb szomszédszámú halmazok legkisebb sűrűsége kisebb, mint a nagyobb szomszédszámú halmazok legkisebb sűrűsége. Minthogy valamennyi egyenlő gömbökből alkotható halmaz legnagyobb sűrűsége egyenlő, azaz = 0-7405; a kis szomszédszámú halmazokra kell nagy figyelmet fordítanunk, hogy az összes, egyenlő gömbökből álló halmazok sűrűségének határértékeit helyesen megállapíthassuk. Táblázatainkban az olyan halmazok nem szerepelhetnek, amelyek nem fejleszthetők három rétegből, de ezek a halmazok csak négynél magasabb szomszédszámúak lehetnek, mert csak négynél magasabb szomszédszámú halmazok esetében fordulhat elő, hogy valamely kiszemelt gömböt érintő szomszéd gömbök középpontjain nem tudunk három párhuzamos síkot (a rétegek középsíkjait) úgy elhelyezni, hogy azok közül a középső, a kiszemelt gömb középpontját is magába foglalja. Ezért bizton számíthatunk arra, hogy ha nem tárgyaltunk is minden